矩阵特征值问题的数值方法.ppt

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1、第9章矩阵特征值问题的数值方法9.1特征值与特征向量9.2Hermite矩阵特征值问题9.3Jacobi方法9.4对分法9.5乘幂法9.6反幂法9.7QR方法9.1特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量.如果有数λ存在，满足，(1)那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.如果把(1)式右端写为，那么(1)式又可写为:记它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式，其中a0=(-1)n｜A｜.(2)显然，当λ是A的一个特征值时，它必然是的根.反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)

2、有非零解向量x，使(1)式成立.从而，λ是A的一个特征值.A的特征值也称为A的特征根.矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：定理9.1.1n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要条件是A有零特征值.定理9.1.2设矩阵A与矩阵B相似，那么它们有相同的特征值.定理9.1.3n阶矩阵A与AT有相同的特征值.定理9.1.4设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特征值，x、y分别是其相应的右特征向量和左特征向量，那么，xTy=0.9.2Hermite矩阵特征值问题设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH.如果A=AH，

3、那么，A称为Hermite矩阵.9.2.1Hermite矩阵的有关性质设是Hermite矩阵A的n个特征值.有以下性质:全是实数.有相应的n个线性无关的特征向量，它们可以化为一组标准酉交的特征向量组,即是酉空间中的一组标准酉交基.记U=(),它是一个酉阵，即UHU=UUH=I，那么即A与以为对角元的对角阵相似.A为正定矩阵的充分必要条件是全为正数.定理9.2.1设是Hermite矩阵A的n个特征值，那么证:设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵，称为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R

4、(x).定理9.2.2如果A的n个特征值为其相应的标准酉交的特征向量为那么有定理9.2.3设A是Hermite矩阵，那么9.2.2极值定理定理9.2.4(极值定理)设Hermite矩阵的n个特征值为，其相应的标准酉交特征向量为.用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么9.2.3Hermite矩阵特征值问题的性态矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都存在当矩阵A的原始数据有小变化(小扰动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引起的变化小，称该特征值问题是良态的.反之，称为病态的.矩

5、阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进行分析.对于Hermite矩阵，由于其特征值问题的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩阵特征值的扰动定理.定理9.2.5设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为那么,证设矩阵A关于特征值λ1，λ2，…，λn的标准酉交特征向量为u1，u2，…，un，是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1维子空间.对中任意非零向量x,由极值定理,有由定理9.2.3，又由定理9.2.2，对任意x≠

6、0，有从而有另一方面,A=(A+E)-E.记为矩阵-E的特征值，那么，重复上面的过程,可得从而有定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值的扰动定理定理9.2.6设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为和，那么这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化不会超过‖E‖2.一般‖E‖2小，因此，Hermite矩阵特征值是良态的.9.3Jacobi方法理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元的对角阵.问题是如何构造这样的正交矩阵呢?Jacobi方法就是通过构造

7、特殊的正交矩阵序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的.9.3.1平面旋转矩阵与相似约化先看一个简单的例子.设是二阶实对称矩阵，即a21=a12，其特征值为λ1，λ2.令使得记容易验证BT=B,且解之得:当时当时并规定9.3.2经典的Jacobi方法设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式Ak+1=QTkAkQk,k=1,2,…构造一个相似矩阵序列，使｛Ak｝收敛于一个对角阵.其中Qk为平面旋转矩阵，其旋转角θk由使Ak的绝对值最大元a(k)pq=a

8、(k)qp=0或按列依次使A的非对角元零化来确定.定理9.3.1设A是n阶实对称矩阵，那么由Jacobi方法产生的相似矩阵序列｛Ak｝的非对角元收敛于0.也就是说，｛Ak｝收敛于以A的特征值为对角元的对角阵.记其中Ek是Ak除主对角元外的矩阵.由平面旋转矩阵的性质中,对于,有因此,又由假设,因此,这样,便有从而,当9.3.3实用的Jacobi方法循环Jacobi方法必须一次又一次扫描，才能使｛Ak｝收敛于对角阵，计算量很大.在实际计算中，往往用一些特殊方法来控制扫描次数，减少计