《高等代数II》例题讲解.pdf

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1、《高等代数II》习题课例题讲解例1（《高等代数》张志让等，高教版.P214第1题）设e,e,,ee是4维线性空间V的一个1234基，线性变换s在这个基下的矩阵为æö1021ç÷-1213ç÷ç÷1255ç÷èø2--212（1）求s在h=e-2e+e,h=-3e-e-e,h=e+=e,2he下的矩阵；1124223433444（2）求s的核与值域.æö1021æö1000ç÷ç÷-1213-2300解（1）设A=ç÷，B=ç÷，显然B是可逆阵.ç÷1255ç÷0-110ç÷ç÷èø2--212èø1-112由题意知s(e,e,e,e)=(e,e,,ee)A

2、，(h,h,h,h)=(e,e,,ee)B，因此，1234123412341234-1(e1,e23,e,e4)=(h1,h2,,hh34)B.s(h1,h2,h3,h4)=séùëû(e1,e234,,ee)B=(s(e),s(e),,s(e)se())B1234=(e,e,,ee)AB1234-1=(h,h,,hh)BAB.1234计算得æö2-332-1æ1000öæ1021öæö1000ç÷241010ç÷ç÷ç÷ç÷--2300--12132300ç÷3333B-1AB==ç÷ç÷ç÷ç0--110÷ç1255÷ç÷0110ç÷8164040ç÷

3、ç÷ç÷ç÷-è1-112øè2-21--2øèø1112ç÷3333ç÷èø01-78为线性变换s在基h,h,,hh下的矩阵.1234-1注在求B时，可由已知两组基的关系容易解得第1页共5页《高等代数II》习题课例题讲解ì221e=h+h+-hhæö1000ï11234332ç÷ï21ï11ç÷00ïe2=+hh23ç÷3323，因此B-1=ç÷.í21ïe=-hh1ç÷10334ç÷33ï2ïç÷1111ç÷--0ïeh44=èø222î2-1（2）先求核s(0).-1T"Îas(0)，设a=(e1,e234,,ee)x，其中x=(x1,x2,,xx3

4、4).由s(a)=s(e,e,e,e)x==(e,e,ee,0)Ax知，Ax=0.对系数矩阵A施行初等行变12341234换得æö1021ç÷3ç÷012A®ç÷2.ç÷0000ç÷ç÷èø0000ìx=--2xx134ï所以，齐次线性方程组Ax=0可化为í3，它的一个基础解系是ïx=--xx2234î2TTbb12=(4,3,-2,0),=(1,--2,0,1),其通解为x=+ccbb，这里cc,为任意常数.112212-1所以，s(0)={aÎ=V

5、0sa()}=+{c(e,e,e,e)bc(e,e,e,eb)

6、,cc是任意常数}.1123412123

7、4212令x=(e,e,e,e)b=+-4e32ee，x=(e,e,e,2e)b=e--ee，则112341123112342124-1s(0)=L(xx12,).下面再求值域s(V).对矩阵A施行初等列变换得æö1000ç÷0100A®ç÷，ç÷2100ç÷èø1-100第2页共5页《高等代数II》习题课例题讲解即存在可逆阵P，使得æö1000ç÷0100AP=ç÷.ç÷2100ç÷èø1-100令(g,g,g,g)=(e,e,,ee)P，则g,g,,gg也是V的一组基，因此123412341234s(VL)=(s(g14),,×××sg()).(s(g

8、1),×××=,s(g4))(s(e14),,×××se())P=(e,e,,ee)AP1234æö1000ç÷0100=(e,e,,ee)ç÷.1234ç÷2100ç÷èø1-100s(g1)=e1+2e3+=ex41$°，s(g2)=e23+e-=ex42$°，s(g34)==sg()0.故s()VL=(xx°12,°).例2（2009年全国大学数学竞赛数学类试题）设V是复数域C上的n维线性空间(n>0)，fg,是V上的线性变换.如果fg-=gff，证明：f的特征值都是0，且fg,有公共的特征向量.解（1）设l是f的任一特征值，x是对应于l的特征向量，

9、因此，f(x)=lx.由于f=-fggf，所以f(x)=-f(g(xx))gf(())，即lx=f(g(x))-g(lx)=-f(gg(x))lx(),移项得f(gg(x))=+l((xx))（1）其次，2f(g(x))=-f(g(xx))géùëûfg(())，因此，2l(g(x)+x)=f(g(x))-+ggéùëûl((xx))第3页共5页《高等代数II》习题课例题讲解22=f(g(x))--lgg(x)lx(),得到22f(g(x))=l(gg(x)++2(xx)).（2）在（1）中以g(x)代替x可得22f(g(x))=+l(gg(xx)()).

10、（3）（2）-（3）得l(g(xx)+=)0.若l¹0，则g(xx