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时间：2020-04-09
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1、三维情况下自由粒子的薛定谔方程如果粒子被限制在边长为L的立方体内，则其波函数为驻波nx、ny、nz是正整数，原点选在立方体的一个顶点上1引入满足周期性边界条件的波函数，要求波函数是x、y、z的周期函数，周期为L，于是则自由粒子的波函数应具有平面波的形式而波矢的分量必须满足2的分量具有2np/L的形式，是这一问题的量子数，另外自旋方向的量子数为ms，于是保证了波函数满足周期性条件把波函数代入薛定谔方程，可得到波矢为的轨道能量为3我们有动量的算符，对于平面波函数因此，平面波是动量的一个属于本征值为的本征函数。在轨道中，粒子速度
2、为4当N个自由电子的系统处于基态时，被占据轨道可以表示为空间中一个球内的点，该球面费米面，费米面上波矢的大小为kF，则费米能能量为eF的费米面5波矢的分量的取值空间的体积元(2p/L)3内允许的波矢数：1所以，在半径为kF的费米球内的波矢总数为单位体积内允许的波矢数为对应于每个允许的波矢将有两个ms值6因此我们得到费米面上的电子速度为仅依赖于电子浓度N/V7单位频率间隔内的轨道数目即为态密度(严格讲是单粒子态密度或者轨道密度)态密度设N为能量≤e的轨道数，则由前面讨论知所以态密度为8计算态密度更简捷的方法：对上式两边去自然
3、对数两边再作微分所以态密度为9自由电子气的单粒子态密度10
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