高考数学试题(00001).doc

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1、一九七八年（理科考生五，六两题选做一题。文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题。）一．（下列各题每题4分，五个题共20分）1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积。解：设底面半径为r，则底面周长2πr=则3．求函数的定义域。解：∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域。4．不查表求cos800cos350+cos100cos55

2、0的值。解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=5.化简：二.（本题满分14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数。对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图。解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=。②k=1时,为半径r=2的圆。③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2。9/9YYYk=2Ak=1(0,2)k=1/4OAXOBXOX如图

3、：2)k=0时，方程为y2=4。图形是两条平行于x轴的直线如图。3）k<0时，方程为YYy=2k=-4AOOXBXy=-2这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上。如图：三．（本题满分14分）（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BNMCNABD1)证：连CA，CB，则∠ACB=900。∠ACM=∠ABC∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD。∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN

4、=CD。∴CD=CM=CN。2）∵CD⊥AB，∠ACD=900。∴CD2=AD·DB由1）知AM=AD，BN=BD。∴CD2=AM·BN。9/9四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小。又已知顶点C的对边c上的高等于。求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证）六．（本题满分20分）9/9七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数）1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是

5、什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上。画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论。3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等。解：用配方法得：9/93.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线。与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-。因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交。而这与m无关。因此直线L

6、被各抛物线截出的线段都相等。一九七八年副题1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求解：原式=3/4。（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积。解：解：原式=30。2．已知两数x1,x2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项。2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和。9/9求根为的方程。略解：x1+x2=39，x1x2=-40。故：1/x1+1/x2=-39/40。1/x1·1/x2=-1/40所求方程为

7、：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：A1BECD证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD作AE⊥BD于点E，则AMNαBEFD4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α。求证：证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：9/95．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+

8、(m+1)2.(p≠0）求证：1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方。2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么p2-4q-4(m+1)=0。6．已知：sinx+bcosx=0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中,b不同时为0。求证：2