《复变函数》第5章留数.ppt

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1、复变函数（第四版）第五章留数§1孤立奇点§2留数§3留数在定积分计算上的应用*§4对数留数与辐角原理9/15/20211《复变函数》(第四版)第五章§1孤立奇点1.定义例：如果函数f(z)在zo处不解析,但在zo的某一去心邻域0<

2、z－zo

3、<δ处处解析,则称zo为函数f(z)的孤立奇点.但一系列奇点的极限点(聚点)9/15/20212《复变函数》(第四版)第五章2.孤立奇点的分类和判定法若zo为f(z)的孤立奇点,则必存在δ>0,使得f(z)于圆环0<

4、z－zo

5、<δ内解析,从而可展成洛朗级数.z0为f(z)的可去奇点Δ(不含负幂项)z0为f(z)的m级

6、极点Δ(c－m≠0)9/15/20213《复变函数》(第四版)第五章例:z0为f(z)的本性奇点Δ()中含无穷多个(z－z0)的负幂项9/15/20214《复变函数》(第四版)第五章∴z=0分别是(1)(2)本性奇点.zo为f(z)的可去奇点相当于实函可去间断点f(z)在zo点的某去心邻域内有界.zo为f(z)的极点相当于无穷间断点zo为f(z)的m级极点其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)≠09/15/20215《复变函数》(第四版)第五章例:(3)z=1是三级极点,z=±i是一级极点z0为f(z)的本性奇点z0附近性质复杂,实函不可比(对任意

7、复数A,总可以找到一个趋向于zo的数列,当z沿这个数列趋于zo时，f(z)的值趋于A).用极限来判别奇点的类型时,若碰到型极限,可用洛必达法则求.维尔斯特拉斯Th9/15/20216《复变函数》(第四版)第五章3.函数的零点与极点的关系例:m为正整数，g(z)在zo点解析,且g(zo)≠0.Δ9/15/20217《复变函数》(第四版)第五章定理:证:9/15/20218《复变函数》(第四版)第五章例1:解:指出它的级.9/15/20219《复变函数》(第四版)第五章一般:例:9/15/202110《复变函数》(第四版)第五章4.函数在无穷远点的性态作变换规

8、定：∞为f(z)的孤立奇点在扩充的复平面上,Δf(z)在z=∞的去心邻域R<

9、z

10、<+∞内解析(R>0)对z=∞的讨论t=0的讨论.9/15/202111《复变函数》(第四版)第五章∵(1)z=∞为f(z)的可去奇点9/15/202112《复变函数》(第四版)第五章(2)∞是f(z)的极点(3)∞是f(z)的本性奇点∞是f(z)的m级极点∞是f(z)的m级极点9/15/202113《复变函数》(第四版)第五章例(P152):9/15/202114《复变函数》(第四版)第五章例2:解:对z=2,什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.而9/15/202115

11、《复变函数》(第四版)第五章∴z=2是f(z)的可去奇点.对于z=∞,z=∞不是f(z)的孤立奇点.从而9/15/202116《复变函数》(第四版)第五章总之,判别奇点类型方法:奇点孤立奇点非孤立奇点可去奇点极点本性奇点1.定义:展成洛朗级数2.求极限3.极点与零点的关系(不恒等于0的解析函数的零点是孤立的)9/15/202117《复变函数》(第四版)第五章§2留数1.留数的定义如果函数f(z)于简单闭曲线C上及其内部解析,则据柯西定理.有但是,如果C内含有f(z)的孤立奇点zo,则9/15/202118《复变函数》(第四版)第五章将f(z)作洛朗展开:则

12、由此可见:在zo点的邻域内,c–1是个特别值得注意的数,是上述逐项积分中唯一残留下来的系数.9/15/202119《复变函数》(第四版)第五章由上知2.留数定理Th1(留数定理):c–1为f(z)在zo点的留数(residue残数)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线.9/15/202120《复变函数》(第四版)第五章由柯西Th极容易得到因此,以上的留数Th.更确切地说,留数Th是柯西Th的一个直接应用.它把计算封闭曲线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题.即利用留数

13、计算积分.有必要专门研究留数的计算.9/15/202121《复变函数》(第四版)第五章3.留数的计算(有限远奇点)基本算法:(1)(2)=c–1C是zo某去心邻域内一条简单正向闭曲线.(当z0是f(z)的本性奇点或孤立奇点类型不清楚时,只能用这一方法求)zo是f(z)的可去奇点.zo是f(z)的本性奇点.f(z)展成洛朗级数9/15/202122《复变函数》(第四版)第五章(3)(Ⅰ)证明:zo是f(z)的极点.有下面的计算规则:如果zo是f(z)的一级极点.则[]9/15/202123《复变函数》(第四版)第五章(Ⅱ)如果zo为f(z)的m级极点.则证:

14、转下页↓9/15/202124《复变函数》(第四版)第五章则:9/