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1、数学规划模型数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的最优包括“最大”、“最小”、“最多”、“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓数学规划问题，数学规划又分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。线性规划非线性规划整数规划动态规划1.线性规划模型表1.1生产计划问题的数据单位消耗产品原料甲产品/t乙产品/t现有原料总量钢材/t95360电力/(kw.h)452
2、00工作日/个310300单位产品的利润/(万元/t)712试拟订生产计划，使该厂获得利润最大线性规划模型的解法两个变量的线性规划模型的图解法单纯形法数学软件，如Lindo软件、Lingo软件、Matlab等例1.2投资方案的确定某部门要进行投资，现有四个投资项目。项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并于次年年末回收本利115﹪；项目B：从第三年年初需要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额部超过30万元；项目D：五年内每年的年初可
3、买公债，于当年年末归还，并可获得6%的利息。已知该部门现有资金100万元，试为该部门确定投资方案，使得第五年末它拥有的资金本利总额最大？1）模型建立。决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4)四个项目的投资额为xij（万元）。目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z，为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2年份项目12345投资限额/万元Ax11x21x31x41Bx3240Cx2330Dx14x24x34x44x54③约束条件为了获得最大的投资收益，每年年
4、初应将手头的全部资金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元，即x11+x14=100b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资的本利，即x21+x23+x24=106%x14同理，第三、四、五年的投资额应是上一年年底回收的各项投资本利，即x31+x32+x34=106%x24+115%x11,x41+x44=106%x34+115%x21,x54=106%x44+115%x31.2）模型求解。用Lindo软件求解，求得投资方案的最优解为x11=71.698112万元，x14=28.301888万元，x23=30万元，x32=40万元，
5、x34=42.452831万元，x41=45万元，其余决策变量均为零，最优值z=143.75万元。例1.3货机装运。某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都要限制，如表1.3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。表1.3三个货舱装载货物的最大容许量和体积前舱中舱后舱重量限制/t10168体积限制/m3680087005300现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。表1.4四类装运货物的信息质量/t空间/(m3/t)
6、利润(元/t)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下假设：①每种货物可以分割到任意小；②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；③多种货物可以混装，并保证不留空隙。2）模型建立。①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为③约束条件：约束条件包括以下4个方面：3）模型求解。将以
7、上模型输入Lindo模型，可以得到结果：最优解为x21=10t,x23=5t,x32=12.947t,x33=3t,x42=3.053t,其余变量均为零，最优值z=121515.8t2.非线性规划模型非线性规划问题可以看作是线性规划问题的一种自然推广，亦是数学规划的一个重要组成部分。凡目标函数和约束条件中包含有非线性函数的数学规划问题都称为非线性规划问题。较之线性规划模型而言，非线性规划模型更能真实地反映问题的实质。例2.1设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表2.1所示表2.1产品的消
8、耗定额与资源供应量消耗定额产品资源ABCD资源可供应量甲1232200乙7981300丙3017400假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而递减，其需求函数分
