常用数值分析方法4有限差分法与有限单元法.ppt

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1、4.1有限差分法有限差分方法是数值计算中应用非常广泛的一种方法，是求解微分方程的主要方法之一。其实质就是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化。以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。4.1.1概述4.1.2有限差分法的主要步骤1、构成差分格式差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程（即：线性方程组）。其求解方法有下列两种：（1）精确法，又称直接法，即消元法；（2）近似法，又称间接法，即迭代法。2、求解差分方程3、对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验。首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分代替无限微

2、分，即以代替dx．以差商代替微商（导数），以差分方程代替微分方程及边界条件。4.1.3差分方程的建立建立差分方程是有限差分法的关键环节。导出差分方程的途径可有两种：（1）从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分的数学含义去建立有限差分和差分方程。（2）从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发、由积分方程去建立差分方程，该方法又称单元体平衡法。两种方法各具特色，但无论采取何种差分方程的推导方法，在建立差分方程前，均需对所论区域进行离散化。差分方程的建立过程（之一）——合理选择网格布局及步长在实施有限差分法中．首先在如图4.1所示的求解区域内，将自变量x，y分别沿x，y轴方向的连续

3、变化，离散为x0，x1，x2，…，xn及y0，y1，y2，…，yn个不连续点．形成离散化网格；网格交点称为结点(或节点)，依次将结点编号，与区域自变量离散化相对应，区域内函数也将同时被离散化。离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单元的长度称为步长，步长的大小可以是常量，也可以是变量。网格的粗细与是否均匀，要根据求解区域物理场的实际分布和对结果所要求的精确度而定。一般说来，对均质、形状简单且规则、物理量变化不剧烈的物体．或求解精度要求不高时，可采用等步长、大步长，即采用均匀网格；而对形状复杂、组分不同、物理量变化剧烈的物体，或求解精度要求较高时，则采用小步长、变步长。图4.1求

4、解区域离散化合理选择网格布局及步长（续）另外，对一些较复杂的问题，在选择网格与步长前，往往要对所论区域的物理场作出粗略估计，然后以较粗的网格、较大的步长计算出参考性物理场，根据这一参考性物理场再选择合理的离散化网格。离散化网格的布局，要根据所要求解的问题的性质及求解要求确定。一般说来，有两种方法：（1）物理划分法：这种方法是根据问题的物理特性划分，如建筑物墙壁内外层面砖、普通砖和内灰泥层组成；若拟求各层界面壁温，则离散化时应按不同材料组分划分区域。图4.2扇形网格和三角形网格（2）几何划分法：以几何区域形状为依据来划分，如对矩形区域可采用矩形离散化网格，非矩形区域可采用三角形、四

5、角形或其他形状的网格，以适应温度场分布的要求。——将微分方程转化为差分方程差分方程的建立过程（之二）微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微分、以差商代替微商的过程，是以有限小量去代替无限微量的近似化过程。方法：写出微分方程中各微分与微商所对应的差分与差商形式，代入原微分方程即可。差分——某物理量的有限增量分类按组成分按阶数分一阶差分二阶差分……n阶差分一阶差分二阶差分一阶差分二阶差分一阶差分二阶差分向前差分向后差分中心差分差商——函数的差分与自变量差分之比用差分代替微分方程中的微分，用差商代替微分方程中的微商，即可将微分方程转化为差分方程。差分方程通常是一个线性方程组，利用

6、以前介绍的直接法（消元法）或间接法（迭代法）即可解之，从而得到原微分方程的解。4.2有限单元法有限单元法（又称为有限元素法，简称有限元法），是20世纪50年代初才出现的一种新的数值分析方法，最早应用于航空航天领域，主要用于力学与结构分析中，20世纪70年以来被应用到传热学计算中。与有限差分法相比较，有限元法的准确性和稳定性都比较好，且由于其单元的灵活性，使它更适应于数值求解非线性热传导问题以及具有不规则几何形状与边界，特别是要求同时得到热应力场的各种复杂导热问题；有限元法在传热学中的应用正处于开拓与发展阶段，迄今为止，其应用已波及热传导、对流传热及换热器设计与计算。4.1.1概述

7、从“有限元”的名字出现到今天，经历了几十年的发展，其基本理论已经日趋完善，复杂非线性问题的各种算法得到很大的发展，并且在工程领域（如：结构力学、热传导、电磁场、流体力学等连续域问题）得到广范的应用。4.2.2有限元法的基本思想（1）假想把连续系统（包括杆系，连续体，连续介质）分割成数目有限的单元，单元之间只在数目有限的指定点（称为结点）处相互连接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在结点上引进等效载荷（或边界条件），代替实际作用于系统上的外载荷（或边界条件）。（2）对每个单