线性代数综合练习题（三）.ppt

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1、线性代数综合练习题（三）一、填空题：；解：把行列式按第一列展开第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则；解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵的元素为A的3阶子式，故为零矩阵，所以0。3、设向量组的秩为2，则t=;解：对下面矩阵施行初等行变换因为的秩为2，所以A的秩也为2，故4、已知n阶可逆阵A的任意行和等于2，则的一个特征值为；解：因为A的任意行和为2，所以即2为A的一个特征值，为对应的特征向量，所以5为的一个特征值。5、设A，B均为n阶方阵，且则。解：所以答案为二、选择题1.设线性相关线性无关

2、,则正确的结论是线性无关线性表示答:正确的结论为C.线性相关线性表示2、设为正定二次型，则t的取值范围解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即解得所以选(c).3、设A为矩阵，B为矩阵，则下面结论正确的是。解：因为AB为m阶方阵，当时，有所以选(b).4、A为n阶方阵，则必为正交阵；(b)对称阵;(c)可逆阵；(d)正定阵。解：所以为对称矩阵。5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是(a)ACB=E;(b)CBA=E;(c)BAC=E;(d)BCA=E.解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的逆矩阵为BC，因此有BCA=E，故选(

3、d).解：因为A为正交矩阵，所以有即故选(d).6、已知A为正交矩阵，则为(a)1;(b)-1;(c)0;(d)–1或1。1.设三阶矩阵其中均为三维行向量.且求解:三，计算下面各题：2、验证是的一个基，并将用该基线性表示。解：因为是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵A与单位矩阵E等价，而由它们线行表示，就是求方程组的解，因此对矩阵施行初等行变换所以线性无关，即为的一个基，且由线性表示为3、四元非齐次线性方程组AX=b,且R(A)=2,已知是它的三个解向量，求其通解。其中解：由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且R(A)=2,所以对应的齐次线性方程

4、组的基础解系含有两个解向量，为AX=b的解，为AX=b的一个特解，为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为(其中为任意实数)4、设二阶方阵A满足求An。解：由已知得5、设向量组A：求：秩及一个极大无关组(写出计算过程)。解：由为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换，所以，秩为3，为一个极大无关组。四、设线性方程组判断其相容性，若相容，求出其所有解。解：对增广矩阵B=(Ab)施行初等行变换可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为取为自由未知量，得方程组的所有解为(其中c为任意实数)。五、设方阵问：A是否可以对角

5、化，若可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使即A能对角化；解特征方程得A的特征值，当时，解方程组即得基础解系的解向量为它们已经正交，只需单位化取当时，解方程组即得基础解系的解向量为单位化得以为列构成的矩阵P既为所求的正交矩阵，易证其中六、设二次型用正交变换法将其化为标准形,并写出所用的正交变换。解：二次型矩阵为解A的特征多项式即解得A的特征值为当时，解方程组得基础解系单位化得当时，解方程组得基础解系当时，解方程组得基础解系单位化得由为列作正交矩阵易验证所以二次型经正交变换X=PY化为标准形所用的正交变换为若进一步地令用正交变

6、换把其化为标准形，并确定k为何值时，B为正定阵，则由得所以有即有正交变换X=PY使当时，B为正定阵。完