中考数学专题：最短距离问题.doc

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1、最短距离问题分析洪湖市峰口镇二中刘万兵最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内

2、函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。AB′Pl几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．ABECBD图1模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正

3、方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；OABC图2P（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；解：（1）的最小值是（2）的最小值是【典型例题分析】ADEPBC1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．5BOA·xy2．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB

4、最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2，∴B(0，2)∵∴A(-2，3)(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，BOA·xyPH在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.∴综合上述：PA-PB≤AB.(3)作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作AH⊥OP于H∵BO⊥OP∴∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠APH∴△BOP∽△AHP∴由(1)可知：AH=3、OH=2、O

5、B=2即∴OP=4，∴P(4，0)标为．的周长即是．第4题．4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．∴解析式为：y＝－2x＋4；(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋P

6、D的最小值是C′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)5.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．5ACxyBO5题图ACxyBO解：（1）此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.（第24题图）OACxyBEPD设直线的表达式为

7、则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为6.如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．DOxyBEPAC（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知DOxyBEPCP解得，∴抛物线的解析式为5（2）设点A（，0），B（，0），则，解得∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵

8、tan∠OCB＝∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD∴四边形ADBC是平行四边形又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形（3）延长BC至N，使．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．即最小．∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN∴FD+FB＝FD+FN．∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．又∵C为BN的中点，∴（即F为AC的中点）．又∵A（－1，0），C（0，－）∴点F的坐标为F（，）∴存在这