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1、p317第七章习题(一>[2,5,6,9,15,17,19]2.利用保域定理证明：若函数f(z>在区域D内解读，(1>若
2、f(z>
3、在D内为常数，则f(z>在D内为常数；(2>若Re(f(z>>或Im(f(z>>在D内为常数，则f(z>在D内为常数．【解】由保域定理，假若f(z>在区域D内不恒为常数，则f(D>是区域．(1>若
4、f(z>
5、在D内为常数，则存在r³0，使得f(D>ÍCr={zÎC
6、
7、z
8、=r}．b5E2RGbCAP但int(Cr>=Æ，故int(f(D>>=Æ，因此f(D>不是开集，因此不是区域，矛
9、盾．(2>若Re(f(z>>在D内为常数，则存在aÎR，使得f(D>ÍLa={zÎC
10、Re(z>=a}．p1EanqFDPw但int(La>=Æ，故int(f(D>>=Æ，因此f(D>不是开集，因此不是区域，矛盾．同理，若Im(f(z>>在D内为常数，f(D>也不是区域，矛盾．故不论如何，f(z>在区域D内必恒为常数．[保区域性定理：设f(z>在区域D内解读且不恒为常数，则f(D>是区域．]5.z平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数w=1/z将此三个圆周所围成的区域变成w平面上的什么区域？DXDiTa
11、9E3d【解】设圆周A,B外切于原点，圆周C分别外切圆周A,B于z1,z2．由分式线性映射的保圆性，以及f(0>=¥，知f(A>,f(B>为w平面中的直线．并且因f(A>,f(B>在有限z平面内无交点，f(A>,f(B>为一对平行直线．因C不过原点，故f(C>为w平面中的圆周；并且，由分式线性映射的保角性，f(C>与f(A>,f(B>都相切，切点分别为f(z1>,f(z2>．5/5下面的图(用sketchpad和photoshop做出，本质上是尺规作图的结果，累！>，指出圆周A,B,C的象f(A>,f(B>,f(
12、C>，以及圆周A,B,C所围的区域D的象f(D>．RTCrpUDGiT[上面的图，我是把z平面和w平面作为一个平面来画的．因为用的是sketchpad，所以图形应该还是比较精确的．同学们可以思考：f(z>=1/z将那三个圆所围的那个无界的(但在C¥中是单连通的>区域变成哪个区域？]5PCzVD7HxA6.如w=(az+b>/(cz+d>将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？【解】首先应满足ad–bc¹0，以保证映射不是常值映射．其次，单位圆周上存在点a使得w(a>=¥，这意味着ca+d=0，因此
13、d
14、=
15、–c
16、a
17、=
18、c
19、·
20、a
21、=
22、c
23、．反过来，若ad–bc¹0，
24、d
25、=
26、c
27、，则w=(az+b>/(cz+d>是分式线性映射，具有保圆性．因
28、–d/c
29、=1，故–d/c在单位圆周上，而且w(–d/c>=¥，jLBHrnAILg故单位圆周在此映射的下的象为直线．9.求出将圆
30、z–4i
31、<2变成半平面v>u的共形映射，使得圆心变到–4，而圆周上的点2i变到w=0．xHAQX74J0X5/5【解】注意到4i和¥关于圆周
32、z–4i
33、=2对称，–4和–4i关于直线v=u对称；因此若分式线性映射f(z>满足f(4i>=–4，f(¥
34、>=–4i，则f(z>将圆周
35、z–4i
36、=2变成直线v=u．根据题目要求，又应有f(2i>=0；LDAYtRyKfE故可用分式线性映射的保角比性来确定共形映射w=f(z>．(w-(–4>>/(w-0>:(–4i-(–4>>/(–4i-0>=(z-4i>/(z-2i>:(¥-4i>/(¥-2i>；Zzz6ZB2Ltk即(w-(–4>>/(w-0>:(1–i>/(–i>=(z-4i>/(z-2i>；dvzfvkwMI1所以，w=–4i(z–2i>/(z-(4i+2>>．[或者，直接设f(z>=(–4i>(z–2i>/
37、(z–d>，将f(4i>=–4代入，则rqyn14ZNXI–4=(–4i>(4i–2i>/(4i–d>，即d=4i+2．所以w=–4i(z–2i>/(z-(4i+2>>．]EmxvxOtOco15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分别变成w=-1,1,¥．SixE2yXPq5【解】因f1(z>=-(z+1>/(z-1>把正向实轴变成正向实轴，上半平面映成上半平面，且f1(-1>=0，f1(0>=1，f1(1>=¥，故f1将实轴上的区间(0,1>变成正实轴．6ewMyirQFL由保角性，f
38、1将上半单位圆周变成正虚轴．所以，f1将上半单位圆共形地变成第一象限．而f2(z>=z2将第一象限共形地变成上半平面．所以，f2◦f1将上半单位圆共形映射成上半平面，且(f2◦f1>(1>=¥，(f2◦f1>(-1>=0，(f2◦f1>(0>=1．kavU42VRUs注意到f1(¥>=-1，f1(0>=1，f1(1>=¥；故(f1◦f2◦f1>(1>=-1，(f1◦f2◦
