归纳推理(递推法).doc

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1、第十二讲归纳推理　　人们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法。　　在研究某个问题的过程中，经过对若干次出现的现象的观察，有的人经过分析思考能很快地找到其中的某种规律，有的人却熟视无睹。这就反映他们的归纳能力不同。希望小同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。b5E2RGbCAP例1把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；……<每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去

2、。求最后剩的是哪个数？p1EanqFDPw分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。DXDiTa9E3d　　如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1～8，最后剩的是1。RTCrpUDGiT10/10　　我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1<操作的起始数）。这是为什么呢？以

3、8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。5PCzVD7HxA　　这样，数的个数是16，32，64，……，2n时，最后剩的都是起始数1。　　当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。jLBHrnAILg　　根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2”时，下一步起始数就是最后剩下的数。xHAQ

4、X74J0X解：因为1024=210，2048=211，　　2110＜1993＜211，　　1993-1024=969，　　就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：LDAYtRyKfE　　969×2=1938　　下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。　　练习按照例1的操作规则　　<1）如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？　　<2）如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？　　说明：这道例题的解题思路是：10/10　　特殊→一般→特殊　　<简单情况）<一般规律）<较复杂情况）　　

5、一般规律：　　把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，……<每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x是哪个数？Zzz6ZB2Ltk解：设2k≤n≤2k+1，k是自然数。　　x=

6、交点不重合时：平面被分成的部分数最多。<如图12—2）共有7部分……。下面我们来看这其中的规律。dvzfvkwMI110/10　　一条直线把平面分成2部分，两条直线相交，第二条直线被第一条直线截成两段，每一段把原有的一部分“一分为二”，因此，增加2部分。三条直线两两相交，并且交点不重合，第三条直线被前两条直线分成三部分<一条线段和两条射线），每部分把原来的平面中的某一部分“一分为二”，因此，增加3部分。依次类推，每增加一条直线，平面增加的部分数依次是4，5，6，……。n条直线把平面分割成的部分数最多是：rqyn14ZNXI　　答：10条直线最多把平面分成56部分。　　练习　　<1）平面

7、上有15条直线，最多把平面分成多少部分？　　<2）平面上两两不重合的4条直线，最少把平面分割成多少部分？例3平面上10个圆，最多把平面分成多少部分？分析：一个圆把平面分割成内、外两部分；两个圆<不重合）可能把平面分割成3部分或4部分。如图12—3，三个圆最多把平面分割成8部分。如图12—4。EmxvxOtOco　　如果我们设n个圆，最多把平面分成an部分。a1=2，a2=4，a3=8。能不能肯定a4=16，a5=32呢？如图12—5，数的结果是