阶二维自然数表中的概率问题.doc

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1、可在6阶二维自然数对表中操作的概率问题芦志新<乌鲁木齐市高级中学邮编：830001）概率为高中数学新课程的必修内容，同时也是近年来高考的热点内容和亮点。而投骰子的游戏是东西方各民族中最广为流传的古老游戏之一，因此，投骰子的概率是人们最早研究的古典概型之一。笔者对投骰子的概率问题也产生了浓厚的兴趣并进行了较深入的相关探究，发现6阶自然数对表对于解决“两次投骰子的概率问题”有着非常重要的作用。b5E2RGbCAP一、对人教版课本中投骰子问题中一张表格的质疑12345667891011125678910114567891034567892345678123

2、4567人教版高中课本《数学》第二册<下B）中的第128页的一道投骰子问题为：将骰子先后抛掷2次，计算：⑴一共有123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566多少种不同结果？⑵其中向上的数之和是5的结果有多少种？⑶向上的数之和是5的概率是多少？其解答运用了分步计数原理和十分不妥当的二维数表<如右图所示，注：在人教版新课标实验教科书《数学》必修3第115页中继续沿用了此表）。笔者认为：其一，此表只反映了问题的结果，而没有反映出投骰子

3、的情况分析过程，这与新课程理念相违背；其二，此表不具有通用性，不宜将该问题进行变式训练，不宜使解法更具一般性；其三，不用分步计数原理照样能“数出”总结果数。笔者在教案过程中采用下表——一张能反映出投骰子概型本质的6阶自然数对表<如右下图）。表的第一列表示投骰子第一次的可能结果数，第一行表示投骰子第二次的可能结果数，对应行列交叉格表示完成“投骰子两次”实验一次所发生的结果点数对，很容易知道，总结果数为36种，按照题意，画出矩形虚框知，向上的数之和是5的结果直接容易数出只有4种，故其概率为。这样做的实践表明：一方面，6阶自然数对表能直接给出完成“投骰子两

4、次”实验的真正本质的分析过程，而且针对完成“投骰子两次”实验这一类问题时，用6阶自然数对表显得操作方便，学生乐意接受；另一方面，易于变式训练，使解决此类问题的方法更具通性。p1EanqFDPw变式训练：将骰子先后抛掷2次，设其两次向上出现的点数差的绝对值为，计算：⑴时的概率；⑵时的概率。<如上图，画一条长实线，从11到66知：，画两条短实线，从41到63与14到36知：。由此，我们可以体会到：“两次投骰子的概率问题”的分析过程，实质上是在对6阶自然数对表的“操作”过程，即如何按问题的限制条件去“数”6阶自然数对表中符合要求的数对个数的过程。同时也会发

5、现，在这个数的过程中无须繁杂的运算和较高的逻辑推理思维，这种操作很直观，体现了对应的思想和方法，一般学生都能容易接受与掌握。）DXDiTa9E3d二、6阶自然数对表在解决高考相关投骰子概率问题中的重要作用由于“投骰子两次”实验中的点数对是一自然数对，可作为平面点坐标、平面向量坐标、函数解读式中的项系数、方程中的项系数以及数列通项的系数，等等。问题的编制者5/5可能基于以上理解，很容易将投两次骰子的点数与函数、方程、向量、几何等内容相结合，使投骰子概率问题上产生出丰富多彩的内涵，把数学问题的情境变得别致而有趣，这也使得投骰子的概率问题在近年的高考<包括

6、高考模拟）中频频出现。因此，笔者认为，6阶自然数对表的灵活使用将会在解决此类问题中一定能发挥其应有的积极作用。RTCrpUDGiT123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566例1、连续掷两枚骰子，观察它们分别向上出现的点数，设两枚骰子出现的最大点数为，⑴求的概率及的概率；⑵求的分布列与的数学期望。5PCzVD7HxA解读：⑴运用6阶自然数对表<如右图）画出相应的虚线与粗实线，知：，；⑵运用6阶自然数对表<如右图）写出的分布列：1

7、23456由此知，的数学期望为：。评述：在6阶自然数对表中，很容易“数出”符合条件的结果数，依此就能方便地求出相应的概率、分布列以及数学期望。jLBHrnAILg123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566例2、<1999年上海高中数学竞赛试卷）若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点落在圆内的概率为。解读：由圆的方程知：或而且与不能同时出现，且每一个这样的点与实数对一一对应，运用6阶自然数对表画出相应的实线<如右图），知其概率为

8、：。xHAQX74J0X评述：“投骰子两次”实验中的点数对恰是平面上的点坐标，可在6阶自然数对表中画出相应的