浙江专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数在研究函数中的应用第3课时导数与函数的综合问题练习含解析.doc

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1、第3课时导数与函数的综合问题[基础达标]1．(2019·台州市高考模拟)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为()A．0B．1C．0或1D．无数个解析：选A.因为g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(0)＝1，y＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)＝1，所以g(x)在(0，＋∞)上无零点．32．(2019·丽水模拟)设函数f(x

2、)＝ax－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析：(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；331当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax－3x＋1≥0可化为a≥－.23xx313（1－2x）设g(x)＝－，则g′(x)＝，234xxx1110，，1所以g(x)在区间2上单调递增，在区间2上单调递减，因此g(x)max＝g2＝4，从而a≥4.31当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤－.23xxg(x)在区间[－1，0)上单调递增，所以g(x)min＝g(

3、－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案：43．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；10，(2)若函数f(x)在3上无零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2lnx，2x－2则f′(x)＝1－＝，xx1由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．10，(2)因为f(x)＜0在区间3上恒成立不可能，10，故要使函数f(x)在3上无零点，10，只要对任意的x∈3，f(x)＞0恒成立

4、，10，2lnx即对x∈3，a＞2－恒成立．x－112lnx0，令h(x)＝2－，x∈3，x－122lnx＋－2则h′(x)＝x，2（x－1）120，再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈3，x－2（1－x）则m′(x)＝＜0，2x10，故m(x)在3上为减函数，1于是，m(x)＞m3＝4－2ln3＞0，10，从而h′(x)＞0，于是h(x)在3上为增函数，1所以h(x)＜h3＝2－3ln3，所以a的取值范围为[2－3ln3，＋∞)．214．(2019·嵊州市第二次高考适应性考试)已知函数f(x)＝x＋，x∈(0，1]．x(1)求f(x)的极值点；3(

5、2)证明：f(x)＞x＋.41解：(1)f′(x)＝2x－.2x31令f′(x)＝0，解得x＝∈(0，1]．2231当0＜x＜时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；231当＜x≤1时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，231所以，f(x)有极小值点x＝，但不存在极大值点．233114x－（x）－2(2)证明：设F(x)＝f(x)－x，x∈(0，1]，则F′(x)＝2x－－＝，22x2x2x3332设t＝(x)，则方程4x－(x)－2＝4t－t－2＝0在区间t∈(0，1)内恰有一个实根．3333（x0）＋2设方程4x－(x)－2＝0在区间(0

6、，1)内的实根为x0，即x0＝.4所以，当0＜x＜x0时，F′(x)＜0，此时F(x)单调递减；当x0＜x≤1时，F′(x)＞0，此时F(x)单调递增．3321x0－（x0）＋133所以[F(x)]min＝F(x0)＝x0＋－x0＝＝－x0＋.x0x042x03333333由y＝－x＋在(0，1]上是减函数知，－x0＋＞－×1＋＝，故[F(x)]min42x42x042×143＞.43综上：f(x)>x＋.45.132函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：3(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数

7、y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．132解：(1)因为f(x)＝x＋ax＋bx＋c，32所以f′(x)＝x＋2ax＋b.因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，－1＋2＝－2a，1所以解得a＝－，b＝－2，－1×2＝b，23由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减．1312(2)由(1)得f(x)＝x－x－2x＋c，32函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)

8、上是减函数，7所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，610极小值为f(2)＝c－.37＋c＞0，6而函数f(x)恰有