模态分析基本理论

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1、模态分析基本理论同济大学汽车学院主要研究内容单自由度振动系统举例单自由度系统的相关模态概念多自由度振动系统举例多自由度系统相关模态概念第一节单自由度振动系统举例一系统方程Kf(t)M=2kgC=4N/(m/s)K=5000N/mMCx(t)M&x&(t)+Cx&(t)+Kx(t)=f(t)将时间域方程变换为拉氏域(复变量P)，假定初始位移和速度为0，则拉氏域方程为2*(MP+CP+K)x(P)=F(P)第一节单自由度振动系统举例二传递函数：物理意义？x(P)=H(P)⋅F(P)1/M1/2*H(P)=

2、=22P+(C/M)P+K/MP+2P+2500三系统极点：传递函数分母方程的根。物理意义？2λ=-C/M±(C/2M)−(K/M)1,2λ=-1±1−2500=−1±j49.9900rad/s1,2第一节单自由度振动系统举例四无阻尼固有频率：C=0时的系统固有频率。Ω=K/M=50rad/s或f=Ω/2π=7.9577Hz111五临界阻尼：系统极点为0时的阻尼值。C=2MK/M=200N/(m/s)C六阻尼比ζ=C/C=0.02或2%1C七留数：将传递函数开成部分分式，分式的分子。*A1A11/M-3H(P

3、)=+A==−j5.001×10s/kg*1P−λP−λj⋅2ω111第二节单自由度系统的相关模态概念一传递函数图传递函数的实部、虚部传递函数的幅值、相位二频率响应函数(FRF)沿频率轴算出的传递函数，表示在频域中输入(力)与输出(位移)之间关系*AAH(ω)=1+1*jω−λjω−λ11第二节单自由度系统的相关模态概念三脉冲响应函数对传递函数施行拉氏反变换，得到时域中的关系*h(t)=Aeλ1t+A*eλ1t=eσ1t(Aejω1t+A*e-jω1t)1111σ：衰减率ω：振荡频率11四FRF影响因

4、素刚度↑共振频率↑FRF在低频段幅值↓阻尼↑共振频率略↓共振点、幅值↓相位改变较平缓质量↑共振频率↓高频段幅值↓第三节多自由度振动系统举例一系统方程f1(t)f2(t)x1(t)x2(t)M1=M2=2kgC1=3N/(m/s)K1K2K3C=1N/(m/s)C=4N/(m/s)23M1M2C1C2C3K1=4000N/mK2=2000N/mK=4000N/m3该系统的运动方程如下：M1&x&1(t)+(C1+C2)x&1(t)-C2x&2(t)+(K1+K2)x1(t)-K2x2(t)=f1(t)

5、M&x&(t)+(C+C)x&(t)-Cx&(t)+(K+K)x(t)-Kx(t)=f(t)2223221232212第三节多自由度振动系统举例一系统方程写出矩阵形式：M10&x&1C1+C2-C2x&1K1+K2-K2x1f1++=0M&x&-CC+Cx&-KK+Kxf22223222322得到拉氏域的系统方程(假定初始位移和速度为0)：204-16000-20002[z(P)][x(P)]=(P+P+

6、)[x(P)]=[F(P)]02-15-20006000第三节多自由度振动系统举例二传递函数矩阵204-16000-2000−12−1[H(P)]=[z(P)]=(P+P+)02-15-20006000或22P+5P+6000P+20002[]adj([z(P)])P+20002P+4P+6000H(P)==222z(P)(2P+5P+6000)(2P+4P+6000)−(P+2000)第三节多自由度振动系统举例三系统极点、模态向量由系统的拉氏域

7、方程：2(P[M]+P[C]+[K]){x(P)}={F(P)}(1)构造恒等式(P[M]−P[M]){x}={0}(2)得到(P[A]+[B]){Y}={F′}其中[0][M]−[M][0]P{x}{0}[A]=[B]={Y}={F′}=[M][C][0][K]{x}{F}系统极点=特征值=方程P值：P[A]+[B]=0λ=-0.87501+j44.7135rad/sλ=-1.3750+j63.2296rad/s12第三节多自由度振动系统举例三系统极点、模态向

8、量对于N自由度系统，有2N个呈复共轭对出现的特征根：λ1σ1+jω1O0O0λNσN+jωNλ=*=λσ−jω1110O0O*λNσN−jωNσ：阻尼因子ω：阻尼固有频率1r模态振型向量(模态位移向量和模态向量)=特征值对应的特征向量{Y}****λ{ψ}Lλ{ψ}λ{ψ}Lλ{ψ}[φ]=1