离散卷积和的一种计算方法

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1、万方数据2007年8月萘4期(慈第配期)济青驳烂学葭学掇知删叠Jim=VocationalQ婚氖蜷。2007No．4(Se越No．62)离散卷积和的一种计算方法张明亮李积逊(青海民族学院计算机科学与技术系，交通工程系，青海西宁810007)摘要：离散卷积和计算在线性系统的分析中占有非常重要的地位。本文从离散时不变线性系统的几个纷泰条箨出发，謦出了一种诗箕方法。这种方法具有计算过程楚草、速度快效拳高，出错率低的特点，露时计算过程还直麓地体现了离散卷积争酌物理意叉。茨键词：数字信号处理；卷积和；计算方法巾图分类号：029文献标识码：A线性系统分析的中心问题是系统输

2、入与输出的关系。对于离散时不变线性系统，输入与输出的关系用输入对系统单位狰激晌应熬离数卷获翻寒凌徭，嚣避离教卷积纛计算在线性系统的分析中占有非常煎要的地位。目前通行的方法是采用反折、平移、相乘与求和等4个步骤来计算，因此，在计算过程中簧反复平移发摄寒罗珏，甚至还要臻匿，在手工计算的情况下，屁得极为繁琐，工作量火，并虽容易出错。但是在有些情况下却离不开手工计算。为此，本文扶离散时不变线性系统的几个约束条俘出发，鼹出了一种计算方法。这种方法不僵适合予芋工计算，萌且计算过稷还能直观地体现离散卷积和的物理意义。l离散时不变线性系统的输入输出关系时域离散系统是将输入映射

3、为输出亭列瓣一种交换，即y(n)=T[c(n)]。对T[]的不同约束条件定义了不同的离散系统。它的一般形式如图l。登登0厂甬’了]羔骘．L——三主—oL—J图1如果褒散系统的辖入序歹lj力xl(n)程x2(n)珏季，其槌纛豹输出穿捌分剃鬼Yl(n)=T[xl(n)】程y2(n)=哑殛(n)]，那么，系统在aXl(n)+慨(n)输入下能保证输出为ayl(n)+b甄(n>，其中a和b必经意常数，鲻系统为线性系统。氆郄线性系统的约束条件为T[axl(n)+b龟(n)]=aT[xl(n)]+bT％(n)]时，则线性系统满足齐次性和叠加健。翔皋线性系统的输出痔列蘧输入序

4、列鹃移位{i{i移位，但形状不改变，则称为线性时不变系统。这种性质可表示为：若y(n)=T[xCn)】，则y(n—k)；T[x(n—k)】。、‘。+现在来研究线性时不变系统的输入输出关系。任意一个序列可表示为单位冲激序列毋(珏)及其移位薛线毪缀合，鼙+■、茹(n)=∑菇(m)占(n—m)将菇(嚣)作为线性时不变系统的输入，则系统的输出为●嚣，，(n)=“弹(n)]=巩∑茹(m)艿(肛一m)】卅。一一纛予系统燕线性豹，应磺叠热鳇秘努次性，鬟l●薜y(n)=T[x(n)]=∑x(m)T[艿(n—m)]Ittt∞一*令系统对单位冲激洚列艿(拜)的响应秀h(n)=甄艿

5、(n)]，再由系统的时不变特性，有●雌罗(拜)=娥并《珏)】=∑x(m)h(n—m)《l≥它表征了离散时不变线性系统的输入输出关系。通常称(1)式为离散卷积和公式，并称y(n)是对h(n)的离散卷积翻，萄己隽y(嚣)=x(蕤)蔷囊《珏>。若对m采用换元m’=111一m，则(1)式中x(m)与h(n-m)的位置可以交换，即y(珏)=茹(魏)*矗(拜)=∑x(m)h(n一琳)m=一-∞；>l矗(m)省(n—m)；h(n)*茹(珏)(2>I，品上式裘翳离教卷积和服获交换德瞄。2离散卷积和的计算方法为方便计，假设输入序列x(n)与单位冲激响应序列h作者简介：张明亮(1

6、978一)，男，脊海循化人，青海民族学院计算机科学与技术系助教；李积逊(196毒一)，男，篱海乐舔人，青海民族学院交通工程系讲师。·53·万方数据(n)均为有限长序列，x(n)的长度为M，h(n)的长度为N，即并(n)={菇(O)筇(1)三算(rn)L髫(m一1)}h(，1)={_Il(0)^(1)L^(Ⅱ)￡h(／V一1)}M。l根据离散卷积和公式(2)，得y(n)=∑x(m)h(n—m)U120(3)现从直观的物理意义出发，讨论线性时不变系统离散卷积和的一种计算方法。h(n)是单位冲激信号艿(n)瞬间作用下系统的输出。一般地，h(n)均具有一定的长度，这说

7、明，由于系统的惯性，对作用于系统的瞬时信号，系统的输出具有拖尾效应，也就是说，不但在作用的瞬间有输出值，而且在其后的各时刻也有相应的输出值。齐次性表明，当输入信号放大某个倍数时，系统的输出也放大相同的倍数。输入序列中的x(0)可以看作强度为x(0)的冲激信号，它相对于单位冲激信号放大了x(0)倍，其相应的输出也放大x(0)倍。因此，序列值x(0)作用下的响应为{x(0)h(O)，x(0)h(1)，⋯。x(0)h(n)，⋯，x(O)h(N一1)}，将其列写在第一行(见图2)。同理，序列值x(1)作用下的输出为{x(1)h(O)，x(1)h(1)，⋯，x(1)h(

8、n)，⋯，x(1)h(N一1)}，列写