2018版高考数学复习函数与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性课件理.pptx

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1、§2.3函数的奇偶性与周期性基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习1.函数的奇偶性知识梳理奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个

2、函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.2.周期性f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.知识拓展2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a

5、>0).(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.()(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()思考

6、辨析×√√√√1.(教材改编)下列函数为偶函数的是A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x考点自测答案解析D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于A.－2B.0C.1D.2答案解析f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为A.－1B.0C.1D.2答案解析∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0

7、)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________.答案解析x(1－x)当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x).又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

8、，∴f(0)＝0，又00时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x

9、2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函数f(x)为奇函数.思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.跟踪训练1(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是A.y＝B.y＝lg

10、x

11、C.y＝(x－1)2D.y＝2x答案解析选项B中，函数y＝lg

12、x

13、的定义域为{x

14、x≠0}且

15、lg

16、－x

17、＝lg

18、x

19、，∴函数y＝lg

20、x

21、是偶函数.(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是A.F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B.F(x)是偶函数，G(x)是奇