高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.1比较法课件新人教A版.pptx

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1、第二讲　证明不等式的基本方法一　比　较　法【自主预习】比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明______;要证明a0,b>0,要证明a>b,只要证明>1;要证明b>a,只要证明_____.这种证明不等式的方法,叫做作商比较法.a-b>0a-b<0【即时小测】1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是()A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>-b>b>

2、-aD.a>b>-a>-b【解析】选C.由a+b>0,b<0,得a>-b>0,于是a>-b>b>-a.2.设a,b∈R且a+

3、b

4、<0,则下列结论中正确的是()A.a-b>0B.a2+b2<0C.a2-b2<0D.a+b<0【解析】选D.由a+

5、b

6、<0,知a<-

7、b

8、≤0,所以a+b

9、b

10、≤0,即a+b<0.故选D.3.若a∈R且a≠1,则a2+1与2a的大小关系是_________.【解析】因为a∈R且a≠1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a.答案:a2+1>2a【知识探究】探究点比较法证明不等式1.作

11、差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么?提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.作商比较法主要适用类型是什么?提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论.【归纳总结】1.作差法的依据若a,b∈R,则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a0,b>0,则

12、>1⇔a>b;=1⇔a=b;<1⇔a

13、具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x

14、费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a0,故ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx

15、+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cxb>c,证明:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2)+(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c).因为a>b>c,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0,所以(a-c)(a-b)(b-c)>0,即a2b+b2c+

16、c2a>ab2+bc2+ca2.类型二作商比较法【典例】设a>0,b>0,求证:aabb≥【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条件时ab>1?提示:若01;若a>1,则b>0时,ab