相似三角形讲义(2).doc

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1、相似三角形(2)【知识梳理】一、相似多边形及位似图形1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．2．相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．二、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．　　定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；三、相似三角形的判定　　判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．补充

2、：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．　　判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．四、直角三角形相似的判定：　在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．五、相似三角形中的基本图形：一、基本图形：1、A字图：（如图1）如果DE//BC，2、8字图：（如图2）已知DE//AB，则有，或者则有3、双A图：(如图3)已知DE//AB，4、母子图：（如图4）已知：∠1=∠B，7则有：。则有。5、贝壳图（如图5）已知：∠1=∠B，6、双垂直：（如图6）∠C=90°，∠1=∠

3、B则有：则有：7、燕尾图：（如图7）∠C=∠B，8、K形图：（如图8）已知∠A=∠B=∠DCE=90°，则有：则有：。79、旋转型：（如图9）已知∠C=∠B=∠DPE10、已知：正方形DEFG，AM是高：，则有：△BDP∽△CPE。则有：。【典例剖析】专题一：相似多边形例1．（九中）下列说法“①凡正方形都相似；②有一个角相等的两个等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；⑤两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81.”中,正确的个数有（）个变式：如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面

4、的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A.0.36πm2B.0.81πm2C.2πm2D.3.24πm2例2．（培优班）一块直角三角形木板的一条直角边AB＝1．5米，面积为1．5平方米，则其内接正方形ＤＧＦＥ的边长为___________.专题二：相似三角形例3．（2009山东）如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.例4.（湖北中考）如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠7BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.AC•AE=AF•AB吗？说明理由.变式1.如图，在△AB

5、C中，已知BD、CE是△ABC的高，试说明△ADE∽△ABC。例5．（南昌）已知△ABC，△DCE，△EFG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长。例6．（达标训练）如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，已知,求证：变式1.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，在AD上能否找到一点P，使三角形PAB和三角形PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应PD的长。若不能，说明理由。相似三角形的应用探究与拓展创新。71、灵

6、活选用判定两个三角形相似的方法。例题1、（2001•重庆）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．(1)求证：△AEF与△DCE相似。（2）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（3）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．变式训练1、（2008•衡阳）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），E为线段AD上的一个动点（点E不与A，D两点重合），连接FC，过E点作EF⊥EC交AB于F，连接FC．（1）△AEF与△DCE是否相似？并说明理由；（

7、2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．变式2、1、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE。（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由。(1)△ABC∽△ADE，(2)△ABD∽△ACE2、根据已知，探索图形相似的条件7例题1、 如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△AC