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1、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、填空题(1)设生产函数为,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为(2)某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则满足的差分方程是___(3)设矩阵且秩(A)=3,则k=(4)设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式.(5)设总体X服从正态分布而是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从___分布，参数为_______二、选择题(1)设函数f(x
2、)的导数在x=a处连续,又则()(A)x=a是f(x)的极小值点.(B)x=a是f(x)的极大值点.(C)(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.(2)设函数其中则g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续(3)设20/20其中A可逆,则等于()(A)(B)(C)(D).(4)设A是n阶矩阵，α是n维列向量.若秩秩，则线性方程组()AX=α必有无穷多解AX=α必有惟一解.仅有零解必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则
3、X和Y的相关系数等于()(A)-1(B)0(C)(D)1三、(本题满分5分)设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:和求四、(本题满分6分)已知f(x)在(−∞,+∞)内可导,且求c的值.五、(本题满分6分)求二重积分的值,其中D是由直线y=x,y=−1及x=1围成的平面区域六、(本题满分7分)已知抛物线(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1)问p和q为何值时，S达到最大?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1
4、)内可导,且满足证明：存在ξ∈(0,1),使得20/20八、(本题满分7分)已知满足(n为正整数)且求函数项级数之和.九、(本题满分9分)设矩阵已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:(1)a的值。(2)正交矩阵Q,使为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，是中元素的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型(1)记把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为。(2)二次型与的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,规范差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中
5、心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是规范正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)
6、1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U={X−Y}的概率密度20/202001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷解读一、填空题(1)【答案】【使用概念】设在处可导，且，则函数关于的弹性在处的值为【详解】由，当时，即，有于是关于的弹性为：(2)【答案】【详解】表示第t年的工资总额，则表示第年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加
7、2百万，所以由差分的定义可得满足的差分方程是：(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对进行初等变换20/20可见只有当k=−3时，r(A)=3.故k=−3.方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式.由解得k=1或k=−3.当k=1时，可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k=−3.(4)【答案】【所用概念性质】切比雪夫不等式为：期望和方差的性质：；【详解】把看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.故又相关系数的定义：则所以由切比雪夫不等式：20/20(5)【答案】；【所用概念】1.分布
8、的定义：其中2.分布的定义：若相互独立，且都服从规范正态分布，则3.正态分布规范化的定义：若，则【详解】因为，将其规范化有，从而根据卡方分布的定义由样本的独立性可知，与相互独立.故，根据分布的定义故服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的分布.二、选择题(1)【答案】[B]【详解】方法1：由知又函数的导数在处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以，于是有20/20即，，根据判定极值的第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且，，当时，函数在处取得极大值.知是的极大值点，因此，正确选项为(B).
