圆锥曲线定义简单应用.doc

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1、圆锥曲线定义简单的应用圆锥曲线方程是高二上册第八章的内容，里面介绍了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线。从定义的角度看，可以分为“第一定义”和“第二定义”。我们可以从不同的角度去运用定义解决一些重要问题。一．定义的运用（一）直接运用定义xyM0例1：是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为。若直线相切，求该椭圆的离心率。分析：

2、

3、=，由椭圆定义知

4、

5、=又为切线，所以即.xy0例2：设椭圆的焦点坐标，是椭圆上的任一点，求证：，其中是椭圆的离心率。分析：椭圆的焦点，相应的准线方程是，又椭圆的第二定义得，化简得：上面两个例题分别从圆锥曲线的第一定义或第

6、二定义着手解决了问题，可见两种定义在圆锥曲线中的重要性。（二）交错运用定义例3：为椭圆上的一点，它到右焦点的距离为，求到左准线距离。分析：如图：由第一定义知dxy0PL再由椭圆的第二定义到左焦点的距离

7、与到左准线的距离之比为离心率，即，得。例3则通过结合圆锥曲线第一定义和第二定义来解决问题，从上面三个例题可以看出，我们在解决圆锥曲线的问题时，从定义的角度考虑出发是一种很好的解题思路。下面看下有关定义的应用问题。一．定义的应用（一）求最值PAFOB例4：若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则求取得最小值时点P的坐标。分析：等于P点

8、到准线的距离，A在抛物线内部，的最小值是由A点向抛物线的准线作垂线（垂足为B）时垂线段AB的长度。最小时，P点的中纵坐标为2，从而得P的横坐标为2，即P点的坐标是（2，2）。此题是根据抛物线的定义，运用了数形结合是思想简捷地得出了答案。下面再看在椭圆中该怎么运用定义来求最值问题。xyPFA0例5：已知点A(1,2)在椭圆内，F的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P使最小。解：为椭圆的右焦点，并且离心率为，设P到右准线的距离是，则，，，由几何性质可知，当P点纵坐标（横坐标为大于零）与A点的纵坐标相同时，最小，把代入得（负舍之），即为所求。以上两个例题都体现了运用曲

9、线的定义来求最值的问题，这种类型在最近的高考中有一定的体现，例如在今年的福建高考卷中的就出现了此种问题（理择题12题），下面就具体分析下。例6：如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，0D那么修建这两条公路的总费用最低是（）yA．(2－2)a万元B．5a万元C．(2+1)a万元D．(2+3)a万元分析：以AB的中垂线为y轴，AB为x轴

10、，如图所示，则曲线PQ就是双曲线上的一部分由定义知，所以总的费用为，要使费用最小，只要使最小，当M位于的时候最小，容易求得最小值为，故此题选B。对于福建试卷文科的试卷中（选择题第12题，与理的区别是：费用分别是a万元/km、a万元/km）。则只要简单运用下双曲线是定义即可解决问题。xyP例7：椭圆的焦点为。点P为其上的动点，当为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？（2000年全国高考试题）分析：方法一，由余弦定理：由椭圆的定义得，>8，由椭圆的第二定义得，方法二先考虑时，=20，又由椭圆定义。上题则讨论了椭圆中的一个角的最值问题，也是通过了椭圆的定义来解决。以

11、上两类的最值问题在圆锥曲线中比较常见，也是我们学习的重点。（一）探求轨迹例8：已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线点焦点和准线分别重合，求椭圆短轴端点的轨迹方程。xyBON解：由抛物线知，其顶点为（2，0），焦点为（0，0），准线为（如图）设椭圆短轴端点为B（x,y），由第二定义知：，即化简得，当时为的一部分；当时，轨迹为椭圆的一部分。例9：一动圆与两圆：都外切，则动圆的圆心yxMO的轨迹方程是什么？（2000全国高考试题）分析：结合图形，知与两圆相外切的圆的圆心M到两定点的距离之差恰为一个定值：即有，根据双曲线的定义可知动圆的圆心的轨迹方程应是双曲线的一支。

12、以上两个例题可以看到：对于有些轨迹问题可以直接利用定义。问题便会迎刃而解，如果我们用常规的方法，则难度加大。椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥面所得的截线，其本质是统一的，都可以看作是“一个动点到定点和定直线的距离之比是一个常数的轨迹。”定义是分析、解决问题的重要依据，巧妙简捷的解题常常来源于定义的恰当合理应用，只有熟练掌握每一个定义的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地用定义解题。