高中学微积分.pdf

《高中学微积分.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数和初等微积分一、相关定义。1、导函数：若函数fx()在定义域任意一点可导，那么fx()的导函数存在，记为fx'()。2、函数微分：若函数yfx()在点x处存在导数fx'()，那么函数微分记为dyfxdx'()，这里dxdy是指自变量x的微分，dy因变量y的微分，由于微分这个关系式，所以导数fx'()，因此，dxdy也经常用表示函数的微分，这样意义更明确，它指明了是y对x求导数。dx3、定积分的定义，参考教材。二、微积分的相关性质。1、微分性质（了解，不需要掌握）：（1）线性性质：d[fx()

2、gx()]fxdx'()gxdx'()（2）dfxgx[()()]gxdfx()[()]fxdgx()[()]fxgxdx'()()fxgxdx()'()fx()gxdfx()[()]fxdgx()[()]fxgxdx'()()fxgxdx()'()d[]22gx()[()]gx[()]gx（3）若复合函数yfu()，ufx()，那么dyfudu'()fufxdx'()'()2、由微分性质可以得到导数性质（用另外的形式表示导数）：d[fx()gx()]（1）线性性质：

3、fx'()gx'()dxdfxgx[()()]gxdfx()[()]fxdgx()[()]（2）fxgx'()()fxgx()'()dxdxfx()gxdfx()[()]fxdgx()[()]d[]2gx()[()]gxfxgx'()()fxgx()'()2dxdx[()]gxdydydu（3）若复合函数yfu()，ufx()，那么fudu'()fufx'()'()dxdudxdydydudy从，可知，du可以直接从分子分母约去，所以用表示导数，意义明显。dxdud

4、xdxxft()dydft[()]ftdt'()ft'()（4）参数方程求导：若参数方程为，则。ygt()dxdgt[()]gtdt'()gt'()3、定积分性质：bbb1、定积分是一个常数．．，与积分变量无关，也就是afxdx()afydy()afudu()…2、牛顿-莱布尼兹公式：设Fx()在区间[,]ab都存在导函数Fx'()fx()，并且导函数连续，b那么fxdx()Fb()Fa()。abbb3、线性性质：a[fx()gxdx()]afxdx()

5、agxdx()，这里，都是常数。bbc4、若函数fx()在积分区间连续，那么afxdx()cfxdx()afxdx()。5、若函数fx()在[,]ab连续，函数xt()在[,]是单值，且有连续导数，且有()a，b()b，则有fxdx()f[()]'()ttdt，事实上，就是把xt()，dx'()tdt（这a个是微分定义）代入，然后换积分变量而已。这个定理了解即可，不需要掌握。三、导数，微分，定积分相关计算。dy1、利用微分方法求函数导数（这部分内容了

6、解一下即可）：求下面函数的导数。dx2222x(xx2)(3)（1）xy1；（2）xy23xy；（3）yx；（4）y。34(xx1)(4)解：第（1）和（2）这样的函数，y没有给出具体式，这种函数称为“隐函数”，用微分方法可以求解它们的导数。第（3）和（4）虽然给出y表达式，但是直接求导数比较困难，可以先两边取对数，变成“隐函数”，然后求导。2222dyx（1）xy1，微分，得dx()dy()0，所以2xdx2ydy0，dxy22常数的微分是0，根据微分定义dyfx

7、dx'()可得dy()(y)'dy2ydy。22（2）xy23xy，微分，得dxy()d(2)xdy()0，所以dyy2ydxxdy2dx2ydy0(y2)dx(x2)ydy0。dxx2y根据微分关系式：dfxgx[()()]fxgxdx'()()fxgxdx()'()，所以dxy()()'xydxxydy()'ydxxdy。xx（3）yx，两边取对数，得lnylnxxlnx，所以两边微分，得d(ln)ydx(ln)x，1dyx所以dy()

8、'lnxxdxx(ln)'xdx(lnx1)dxy(lnx1)，把yx代入，ydxdyx得y(lnx1)x(lnx1)。dx2(xx2)(3)（4）y，两边取对数得lny2ln(x2)ln(x3)3ln(x1)4ln(x4)，34(xx1)(4)12134微分，得dy()dx，所以可求得yx2x3x1x42dy2134(x2)(x3)2134y