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1、最优化问题建模方法与技巧温罗生博士2012年4月内容提要优化问题引例和基本结构运输模型的例子——线性和非线性规划飞行管理问题——复杂的约束钻井布局问题——整数变量的使用确定性和随机性——简单和复杂的例子单目标和多目标——风险投资组合问题思考及练习原油类别买入价(元/桶)买入量(桶/天)辛烷值(%)硫含量(%)A45≤5000120.5B35≤500062.0C25≤500083.0汽油类别卖出价(元/桶)需求量(桶/天)辛烷值(%)硫含量(%)甲703000≥10≤1.0乙602000≥8≤2.0丙501000≥6≤1.0加工费:4元/桶安排生产计划，在满足需求的条件下使
2、利润最大1、优化问题引例（原油生产计划）和基本结构决策变量：目标：甲(3000)乙(2000)丙(1000)A/45X1X2X3B/35X4X5X6C/25X7X8X9约束：总利润最大需求限制；原料限制；含量限制；非负限制含量限制非负限制原料限制需求限制约束为一定的目的做一些事情,我们可能要考虑有哪些重要的因素,这些因素和要完成的目标之间有什么样的关系.也就是说,我们在做一个决定时,会注意下面的三个要点:目的是什么?有哪些重要的因素?这些因素有什么样的关系?对应于前面的三个要点,便是建立最优化问题数学模型的三个要素:目标函数，决策变量，约束条件。目标函数对应决策者而言,对
3、其有利的程度必须定量的测度,在商业应用中，有效性的测度经常是利润或者成本,但对于政府，更经常的使用投入产出率来测度。表示有效性测度的经常称为目标函数.目标函数要表出测度的有效性,必须说明测度和导致测度改变的变量之间的关系。一般地，数学模型很少有能表达变量和有效性测度之间的精确关系的。实际上，运筹学分析者的任务就是找出对测度有最重要影响的变量，然后找出这些变量和测度之间的数学关系。这个数学关系也就是目标函数。决策变量和参数我们称对应决策者可控的量称为决策变量,决策变量的取值确定了系统的最终性能,也是决策者采用决策的依据。在系统中还有一些量,它不能由决策者所控制,而是由系统所
4、处的环境所决定,我们称之为参数。在一些问题的建模过程中，确定变量经常是第一步的同时也可能是最困难的工作。约束条件约束条件决定了决策变量和参数之间的关系。约束集界定决策变量可以取某些值而不能取其他的值。比如对应生产问题,任何活动中,时间和物品不能为负数。当然,也有一些优化问题不带约束条件,我们称之为无约束优化问题。而在实际问题中,决策变量带有约束是普遍的。有时一些问题的约束可能非常复杂。某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai,bi)(单位：公里),水泥日用量di(单位：吨）假设：料场和工地之间有直线道路2、运输模型的例子——选址问题用例中数据计算，最优解为总吨公里数为136
5、.2线性规划模型决策变量：cij(料场j到工地i的运量）~12维选址问题：非线性规划问题2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和运量cij，在其它条件不变下使总吨公里数最小。决策变量：cij，(xj,yj)~16维非线性规划模型一般的运输问题可以表述如下：数学模型：若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，即类似与将一般的线性规划问题转化为其标准否则，称为不平衡的运输问题，包括：，则称该问题为平衡的运输问题.总产量>总销量和总产量<总销量.形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地，将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题.从而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求
6、解.运输问题小结：对于运输问题，一般的使用运量作为决策变量，目标函数一般的使用运费或者顿公里数表示，约束条件通常包括产地约束和工地约束，还有常见的非负约束，有时可能还包括线路上的运量约束。这个方面的参考文献包括钢管订购问题以及铁矿石的运输问题。3、飞行管理问题（1995A）在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞
7、机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；5）最多需考虑6架飞机；6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),
