微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答.pdf

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1、习题1—1解答x11x11．设f(x,y)xy，求f(x,y),f(,),f(xy,),yxyyf(x,y)x111yx221y解f(x,y)xy；f(,);f(xy,)xy;2yxyxyxyf(x,y)xyx2．设f(x,y)lnxlny，证明：f(xy,uv)f(x,u)f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv)ln(xy)ln(uv)(lnxlny)(lnulnv)lnxlnulnxlnvlnylnulnylnvf(x,u)f(x,v)f(y,u)f(y,

2、v)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：22（1）f(x,y)1xy1;24xy（2）f(x,y);22ln(1xy)222xyz（3）f(x,y)1;222abcxyz（4）f(x,y,z).2221xyz解（1）D{(x,y)x1,y1y1-1O1x-1（2）D(x,y)0x2y21,y24xy1-1O1x-11222xyz（3）D(x,y)2221zabcc-a-bObyax222（4）D(x,y,z)x0,y0,z0,xyz1z１O

3、１y１x4．求下列各极限：1xy10（1）lim=1x0x2y201y1y)0ln(xeln(1e)（2）limln2x12210y0xy2xy4(2xy4)(2xy4)1（3）limlimx0xyx0xy(2xy4)4y0y0sin(xy)sin(xy)（4）limlimx2x2yx2xyy0y05．证明下列极限不存在：22xyxy（1）lim;（2）limx0xyx0x2y2(xy)2y0y0（1）证明如果动点P(x,y)沿y2x趋向(0,0)x

4、yx2x则limlim3；x0xyx0x2xy2x0xy3y如果动点P(x,y)沿x2y趋向(0,0)，则limlim3y0xyy0yx2y02所以极限不存在。（2）证明：如果动点P(x,y)沿yx趋向(0,0)224xyx则limlim1；x0x2y2(xy)2x0x4yx0224xy4x如果动点P(x,y)沿y2x趋向(0,0)，则limlim0x0x2y2(xy)2x04x4x2y2x0所以极限不存在。6．指出下列函数的间断点：2y2x（1）f(x,y)；（

5、2）zlnxy。y2x解（1）为使函数表达式有意义，需y2x0，所以在y2x0处，函数间断。（2）为使函数表达式有意义，需xy，所以在xy处，函数间断。习题1—2xy1．（1）zyxz1yz1x；.22xyxyxyz(2)ycos(xy)2ycos(xy)sin(xy)y[cos(xy)sin(2xy)]xzxcos(xy)2xcos(xy)sin(xy)x[cos(xy)sin(2xy)]yzy12y1(3)y(1xy)yy(1xy),x1zxlnz=yln(1

6、+xy)，两边同时对y求偏导得ln(1xy)y,zy1xyzxyyxyz[ln(1xy)](1xy)[ln(1xy)];y1xy1xy2y13zx3x2y(4),y3xx(xy)x2x31zx21;y3yxyx2xyyyuy1u1uyxz,xzlnx,xzlnx(5)2;xzyzzzz1uz(xy)(6),2zx1(xy)z1uz(xy),2zy1(xy)zu(xy)ln(xy);2zz1(xy)2.(1)zy,z

7、x,z0,z1,z0;xyxxxyyy(2)zasin2(axby),zbsin2(axby),xy22z2acos2(axby),z2abcos2(axby),z2bcos2(axby).xxxyyy2223fy2xz,f2xyz,f2yzx,f2z,f2x,f2z,xyzxxxzyzf(0,0,1)2,f(1,0,2)2,f(0,1,0)0.xxxzyztttt4z2sin2(x),zsin2(x),z2cos2(x),zcos2(x)xtxttt2222tt2zz

8、2cos2(x)2cos2(x)0.ttxt22yyyyy1y15.(1)zex,zex,dzexdxexdy;x2y2xxxx122xyx