高等数学(同济第七版)(上册)-知识点.pdf

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1、...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设limf(x)0,limg(x)0且limlg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，x1−cosx~x^2

2、/2，e−1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则limf(x)A2．两个重要公式sinx公式1lim1x0x1/x公式2lim(1x)ex03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次23nxxxxne1x...o(x)2!3!n!352n1xxnx2n1sinxx

3、...(1)o(x)3!5!(2n1)!WORD格式可编辑版...242nxxnx2ncosx1...(1)o(x)2!4!2n!23nxxn1xnln(1x)x...(1)o(x)23n(1)2(1)...((n1))nn(1x)1xx...xo(x)2!n!352n1xxn1x2n1arctanxx...(1)o(x)352n15．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）limf(x)0，

4、limF(x)0；xx0xx0（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；0f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为无穷大），则limlimxx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)f(x)f(x)f(x)这个定理说明：当lim存在时，lim也存在且等于lim；当xx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)f(x)f(x)lim为无穷大时，lim也是无穷大．xx0F(x)xx0F(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的

5、极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）limf(x)，limF(x)；xx0xx0（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；0f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为无穷大），则limlimxx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)注：上述关于xx时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型0同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：0（1）洛必达法则只能适用于“”

6、和“”型的未定式，其它的未定式须00先化简变形成“”或“”型才能运用该法则；0（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(x0x)f(x0)'基本公式limf(x)(如果存在）0x0x7.利用定积分定义求极限n11k基本格式limf()f(x)dx（如果存在）nnkn10三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=

7、f(x)的间断点。如果f(x)在间断点x处的左、右极限都存在，00则称x是f(x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为0可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1．（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a

8、,b]上有界。定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3．（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得f(ξ)=c推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号