浅谈函数的定义域.pdf

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1、第18卷专辑V01．18专辑四川文理学院学报(教育教学研究专辑)SichuanUIliVerSityofArtsandScienceJoumal2008年06月Jun．2008浅谈函数的定义域马’强(达州市高级中学，四川达州635000)【摘要】定义域是函数的重要因素之一，若忽略了它，就会造成一些荒谬的结果。‘通过结合例子，对函数的定义域作了一些分析和探讨，以提高大家对定义域的理解和认识。【关键词】函数；定义域；取值范围；复合函数。【中图分类号】G633．6【文献标识码】A【文章编号】1008—4886(2008)专辑一013l一02函数的思想贯穿于高中数学的各章节之中，是高中数学的主旋律

2、，而定义域又是函数三要素中的核心，在很多数学考试中都频频出现。然而我们的学生由于对定义域的理解不够深刻，造成考试中的很多失误。为了克服学生的这些问题，本文通过对定义域的全面讨论，希望提高大家对定义域的理解和认识。函数的定义域是自变量的取值范围，是函数的法则所必须遵守的“纪律”。也就是说，对不在定义域内的量，法则对它无能为力，这就好比一条法规总是在一定范围内适用。反过来，你在这个范围内就一定得遵守它，否则便会出问题。函数的定义域有时是使式子的表达式有意义的取值范围，有时又是题目给定的，有时又需考虑实际情况。所以分清各种情况是解题的关键。下面将对各类情况逐一介绍。1复合函数的定义域例1：已知函

3、数，，=／(2石)的定义域为[1，2]，求函数，，=，(1092菇)的定义域。．分析：复合函数的定义域因其较抽象，所以很多学生易出错，其实抓住两条原则就会避免出错。一是复合函数的自变量仍为茗，所以其定义域仍是茗的取值范围；二是同一法则后的式子地位相同，因此它们范围也是一致的。解：由已知得：l≤茹≤2，则2≤2茗≤4又由于2戈与10劫茹地位相同，所以2≤I092并≤4即：4≤石≤6，因此)，=以lo＆石)定义域为[4，16]。2定义域与最值例2：求函数y=si眦+罢(m>o，o≤茗≤2)的最小8ln茹值。分析：解此题易想到换元法及基本不等式，但取得取值时等号成立的条件是在许可的定义域范围内，

4、应讨论。解：令￡=si眦(O≤茗≤2，则Ol时，显然不能采用均值不等式求其最小值。此时应用单调性的定义证明八f)在(1，+∞)上是减函数(证明略)，最小值应为1+m。3定义域与解析式及函数值例3：已知y=八菇)是周期为2的函数，且当O≤茗<2时以茗)=2茗，求一4≤茹<一2时以石)的解析式及，(一3)。分析以茹)=2石只对O≤茗<2才适用，而要求解的一4≤石<一2不在所给定义域范围内，所以不能直接求解，应把此时的石转化到[O，2)内，这是一

5、个分段函数，它是近年来高考的热点内容。解：一4≤石<一2贝0O≤茗+4<2即以茗+4)=2(茗+4)=2茹+8又。．‘“省)是周期为2的函数，．‘．以茗+4)=以石)即以茹)=2菇+8(一4≤茹<一2)又‘．‘一3∈[一4，一2)．‘．灭一3)=2茹(一3)+8=24定义域与单调区间例4：求火石)=lo＆(≯一8茗+12)的单调增区间。分析以名)是由，，=lo&￡和￡=嚣2—8茁+12两个函数复合而成的。根据复合函数的单调性可知，y=l092f是增函数，则直接求f=石2～8石+12的增区间即可。但其忽视了对数函数·【收稿日期】2008—03—15【作者简介】马强(1979一)，女，四川达州

6、人，中学二级教师，主要从事数学教学与研究。1312008年专辑马强：浅谈函数的定义域的定圣孽：里些銎犁釜堡苎笙量：，。．。：。．．．。。知r：詈，但是错误的。因为，(o)：o无意义，所以解：首先要使对数函数有意义，则石2—8石+12>O，即：2。～、’一～～。菇>6或石<2。由上述分析知，当x≥4时￡=茹2—8戈+12是增函数，求交集得：石>6，所以原函数的递减区间为(6，+∞)(显然不是(4，+∞))。5定义域与奇偶性例5：判断以石)=辈堕÷掣的奇偶性。Sln茗+CoS石+1分析：对于这种解析式较复杂的函数要化简后才好判断奇偶性，因而重心放到化简后看以一茗)锨x)和一以鼻)的关系，易出错

7、。因为用二倍角公式化简后得：／(茗)=t蚰÷，得到它为奇函数，但结论却是错误的。解法一：因为si姒+co蹦+1≠0即：茗≠2妨+霄且戈≠2元7r+÷仃(

8、

9、}∈z)所以其定义域不具有“对称性”以石)应为非奇非偶函数。解法二：因为以手)=l，而以一号)=揣无意义。所以火石)是非奇非偶函数。多定义域与周期性冉例6：求灭石)：是的最小正周期。1一【aI城分析：化简得以茹)=fn，12石，所以由正切函数的周期性132以o)锁o+