割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件.pdf

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1、５２数学通报２０１１年第５０卷第１２期割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件曹军（江苏南通高等师范学校２２６１００）《数学通报》２０１１年第６期刊登的《从割线斜格朗日中值定理，在开区间（ｘ１，ｘ２）内至少存在一率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读》（以下ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）点ξ，使得ｆ′（ξ）＝，此即表明任意称文１）一文分析了以下一道题目的解法：ｘ２－ｘ１题目已知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ３２一条割线都至少有一条与之平行的切线对应，所＋ａｘ＋ｂ（ａ，ｂ∈Ｒ），若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象上任意不同的两点以ＡＢ；又设ｋ∈Ｂ，则

2、ｘ０∈Ｉ，使得在点连线的斜率都小于２，求ａ的取值范围．Ｄ（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线ｌ的斜率为ｋ，由于ｙ＝文１指出，将问题转化为ｆ′（ｘ）＜２恒成立求ｆ（ｘ）不存在拐点，所以曲线的凸性确定，不妨设解，这种方法是用切线的斜率来代替割线的斜率，为上凸，则曲线上除切点外的所有点都在切线ｌ属于不等价转化，在逻辑上是行不通的，解法是错的下方，由于ｘ０在开区间Ｉ的内部，且曲线ｙ＝误的，因为对任意三次曲线，割线斜率集合（Ａ）不ｆ（ｘ）连续，所以将切线ｌ向下略微平移必得割线等于切线斜率集合（Ｂ），它们的关系是ＡＢ．并ＥＦ，其斜率为ｋ，

3、所以ｋ∈Ａ，故ＢＡ，综上得Ａ＝Ｂ．给出了如下一般结论：定理３已知ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在连通开区间定理１（文１定理２）已知ｙ＝ｆ（ｘ）是定义Ｉ上的二阶可导函数，则ＡＢ的充要条件是曲域上的可导函数，Ａ＝｛ｋ｜ｋ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）割线线ｙ＝ｆ（ｘ）上存在这样的拐点，使得平行于该拐的斜率｝，Ｂ＝｛ｋ｜ｋ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）切线的斜点处切线的任意直线都不是割线．此时，设所有这率｝，如果该函数有且仅有一个拐点，则ＡＢ．样的拐点处切线的斜率组成集合Ｃ，则瓓ＢＡ＝Ｃ．文１末尾指出，对于有多个拐点的函数，也可证明充分性显然成立，下面证必要

4、性：因为能满足ＡＢ，比如ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ等等，所以，ＡＢ，则瓓ＢＡ≠，设ｋ∈瓓ＢＡ，则ｋ∈Ｂ，但ｋ“有且仅有一个拐点”只是“ＡＢ”的充分条件而Ａ，令曲线在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线为ｌ，其斜率非必要条件．那么“ＡＢ”的充要条件是什么？本为ｋ，则（ｘ０，ｆ（ｘ０））一定是拐点（否则，必存在开文通过探索，成功地解决了这个问题，不但发现了区间Ｉ０Ｉ，使得ｘ０∈Ｉ０，且曲线在开区间Ｉ０上凸“ＡＢ”的一个充要条件，而且还得出了“Ａ＝Ｂ”性是确定的，由定理２的证明可知，曲线在开区间的充要条件，其价值不仅为

5、割线斜率与切线斜率Ｉ０上必存在某割线斜率等于ｋ，所以ｋ∈Ａ，与ｋ的相互转化提供了理论支撑，而且在解题实践上Ａ矛盾）．又ｋＡ，所以与ｌ平行的任意直线不是具有指导意义，现整理成文．割线．下文记Ａ＝｛ｋ｜ｋ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）割线的斜综上，定理３成立，而且由必要性证明可知，率｝，Ｂ＝｛ｋ｜ｋ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）切线的斜率｝）．设此时所有这样的拐点处切线的斜率组成集合定理２已知ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在连通开区间Ｃ，则瓓ＢＡ＝Ｃ．Ｉ上的二阶可导函数，则ＡＢ．特别地，当曲线Ｃ进一步探究，由于函数ｙ＝ｆ（ｘ）在连通开区不存在拐点时，Ａ＝Ｂ

6、．间Ｉ上二阶可导，故ｆ（ｘ）与一阶导函数ｆ′（ｘ）都证明　ｘ１，ｘ２∈Ｉ，设ｘ１＜ｘ２，由于函数ｙ＝连续，所以切线斜率取值与割线斜率取值必定连ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］连续，在（ｘ１，ｘ２）内可导，根据拉续，即Ｂ与Ａ均为连通区间，又ＡＢ，所以瓓ＢＡ２０１１年第５０卷第１２期数学通报５３中至多有两个元素，这两个元素就是区间Ｂ的端２ａ＜５时，２槡ａ－１－ａ＝－（槡ａ－１－１）＞－１，所点值，又若函数ｆ（ｘ）有且仅有一个拐点ｘ０，根据ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）以＞－１．拐点定义，ｆ（ｘ）在拐点ｘ０左右两侧附近的二阶ｘ１－ｘ２例２（

7、文首题目）已知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ３导数异号，所以ｘ０是一阶导函数ｆ′（ｘ）的唯一极＋２值点，也是ｆ′（ｘ）的最值点，也即区间Ｂ的一个端ａｘ＋ｂ（ａ，ｂ∈Ｒ），若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象上任意点值，于是结合定理１和定理３可得：不同的两点连线的斜率都小于２，求ａ的取值推论１已知ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在连通开区间范围．解ｆ′（ｘ）＝－３ｘ２Ｉ上的二阶可导函数，则瓓ＢＡ中至多有两个元＋２ａｘ，ｆ″（ｘ）＝－６ｘ＋素，这两个元素就是区间Ｂ的端点值，又若函数ａａ２ａ，由ｆ″（ｘ）＝０得ｘ０＝，当ｘ＜时，ｆ″（ｘ）＞３３ｆ（ｘ）有且仅有一个拐

8、点ｘ０，则瓓ＢＡ＝｛ｆ′（ｘ０），｝ａａ且区间Ｂ的一个端点值就是ｆ′（ｘ０）．０，当ｘ＞时，ｆ″（ｘ）＜０，所以ｘ０＝是曲线３３由定理２和定理３易得：２ａａ推论２已知ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在连通开区间ｆ（ｘ）的唯一拐点，而ｆ′（）＝，根据推论１，３３Ｉ上的二阶可导函数，则当且仅当以下两种情形ｆ（ｘ１）－ｆ（