对含参不等式恒成立问题的解法探究.pdf

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1、对含参不等式恒戌豆问题的解法操究’江苏省宜兴市和桥高级中学周鹏含参不等式恒成立问题是数学中常见前需要判断的，即上文所说的“一个判断”．问题，也是历年高考的一个热点．它综合考上述问题就是要找参数的某个取值范围，使查函数、方程和不等式的主要内容，并且与得这时候不等式恒成立．函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧解(1)设厂()一。一2+3一，利密相连．用二次函数的性质，其函数图象是开口向上不等式恒成立问题，主要是指恒成立条的抛物线，为了使-厂()≥O(∈R)，只需△≤件下不等式参数的取值范围问题．如：对于0，即(一2)一4(3一)≤0，解得m的取值范VzER，不等式z

2、一2x-F3一≥0恒成立，围为(一。。，2]．求实数的取值范围．对于这类问题的解题(2)不等式。一2x+3一≥0可变形策略，经过探究大致可以归结为“一个判断”和“三种方法”．为z。一2x+3≥，要使其恒成立，则需z。一2x+3≥⋯一3，解得z的取值范围为★一、判断变量和参数(一。。，O]U[2，+。。)．二、函数保号性法i例1(1)对于VzER，不等式X一2x+3一m≥0恒成立，求实数m的取值范围．嗲例2对vE[一1，1]，不等式zz+(2)对于VE[一3，3]，不等式z一(口一4)x+4—2a>0恒成立，求z的取值2x+3一≥0恒成立，求实数z的取值范围．范围．

3、分析首先我们判断出虽然本题中的分析可以发现：在(1)中，z是变量，m不等式是关于z的一元二次不等式，但是可是参数，在(2)中则相反．这正是我们解题之以把n看成变量，看成参数，则问题可转化0．取到”的问题，我们在做题时要多长个心眼，所以，解题不是盲目地照搬照抄，而是稍不留意就会出错．需要我们懂得思考其中的道理．对字母取值的一些临界值、区间的端点如果我把例3和例4的“z∈(1，2)”改要格外小心，这表面上是细节问题，在解决变成zE[1，2]，答案又该是多少?(希望你数学问题上却是大问题．因为，失之毫厘，谬能得出正确的答案，例3：＆>1；例4：a>O．)之千里．以上这两

4、题告诉我们，对于“等号能否NewUniversityEntranceExamination3ll新高数学为一次不等式(z2)a+一4x+4>0在第三步，研究保号性的主要依据是单调aE[一1，1]上恒成立的问题．性和最值．如果在某范围内，函数，(z)在．z—C处取得最小值，并大于0，当然在该范围解析令f(a)一(1z一2)口+z。一4x+里，厂(z)恒大于0．这个原理称为极端原理．4，则原问题转化为f(a)>0恒成立(a∈根据需要，研究厂(z)在zE[，]的最[一1，1])．值和0的大小关系成立的条件，作出相应的当一2时，可得f(a)一0，不合题意；结论．当z≠2时

5、，它是关于a的一次函数．要极端原理：将不等式恒成立问题转化为使f(。)>0，只需两端点值大于0，即求函数最值问题的一种处理方法，其一般类{i。，解得．z<或>s．型有：(1)f()>a恒成立∞a厂()max~+Cx3)．注：一般地，一次函数．厂(z)一kx+b(k≠例3,NS-V∈[1，3]，不等式。一O)在[a，]上恒有f(z)>0的充要条件+2≥0恒成立，求m的取值范围．f-厂(a)>0，～If(f1)>o．分析先判断：．72是变量，m是参数．本我班有同学提出疑问：本题中的22

6、—2—题是二次不等式，但变量z在闭区间[1，3]0是不是一定要分类讨论．上变化(与例1中．32ER不同)，可以认为这进一步思考，我们会发现无论z一2是是个研究闭区间上二次函数的保号性问题．否为零，一厂(a)(可能是一次函数或常值函数)在[一1，1]上的函数图象总是一条线段，解法1设厂(z)一z。-mx~2，当zE结合这一图形特征，要使得f(a)>O恒成立[1，3]时_厂()≥0恒成立，等价于厂()在等价于一，(a)的图象，即线段恒在z轴上[1，3]上的最小值不小于零．方，而这又等价于线段端点均在,27轴上方，由于厂(z)一z。一m．z+2的图象开口向因此只需{i。

7、，故可以不用讨论，但上，对称轴为z一，因此需根据对称轴和区是若是二次函数就不能这么草率了．间的位置分下面三种情况：点评例1、例2的解法是利用函数保(1)予<1；(2)1≤予≤3；(3)罟>3．号性(函数在某范围内保持同一个符号)，这对于(1)，对称轴位于指定区间∈[1，是不等式恒成立问题的第一种解法．其步3]的左侧，指定区间上的曲线段是递增的，骤是：最小值在左端点z一1处取得，要_厂(z)≥0第一步，判断哪个是变量，哪个是参数．(下面假定．27是变量，志是参数，且z在某指恒成立，即有j罟<1，定的范围[m，]里)【-厂(1)≥0．第二步，将题设不等式转化为_厂(z

8、)>0(2