高中数学奥林匹克竞赛训练题（25）.doc

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1、数学奥林匹克高中训练题（25）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题30)设，则从到的映射中，满足的个数是(C)．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2．(训练题30)在顶点为，，，的正方形(包括边界)中，整点的个数为(B)个．(A)7980011(B)7980013(C)7980015(D)79800173．(训练题30)设，那么(B)．(A)(B)(C)(D)4．(训练题30)在四面体中，面及都是边长为的等边三角形，且分别为棱的中点，则与在四面体上的最短距离为(A)．(A)(B)(C)(D)5．(训练题30)已知三个三角形的周长分

2、别为．若，且较小的两个三角形和可以互不重叠地放入大三角形的内部，则的最大值是(B)．(A)(B)(C)(D)6．(训练题30)以正边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于(D)．(A)(B)(C)(D)非上述答案二、填空题（本题满分42分，每小题7分）1．(训练题30)设，且，其中是不小于3的自然数，则形如的全体分数之和为．2．(训练题30)在中，已知三个角成等差数列．若其对边分别为，并且-3-等于边上的高，则．3．(训练题30)若，则．4．(训练题30)在中，在上，，在上，，延长交于，则．5．(训练题30)数列满足，则通项．6．(训练题30)已知集合，从中

3、选3个元素，中选2个元素，能够组成90个有5个元素的新集合．三、(训练题30)(本题满分23分)已知是抛物线的动弦上的点，为坐标原点，，求点的轨迹方程．四、(训练题30)(本题满分24分)黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作：(1)将某个数重写一遍；(2)将两数相加，写上和数.试证明：①119这个数永远不会出现在黑板上；②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．五、(训练题30)(本题满分25分)已知，求证：对一切．均有等号当且仅当时成立．第二试一、(训练题30)(本题满分50分)已知为任意凸四边形，分别以为边在四边形外作正和正；以为

4、底边在四边形作顶角为1200的等腰三角形和．求证：，且．二、(训练题30)(本题满分50分)若干个同学参加数学竞赛，其中任何个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友），问有多少同学参加数学竞赛．三、(训练题30)(本题满分50分)是个循环小数，表示的小数点后第k位开始，连续-3-位上的数字之积，证明存在自然数，对任意的均有．-3-