解题的心向——化归-论文.pdf

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1、2014年9月1日理科考试研究·数学版·21·解题的心向——化归青海师范大学201l级数学教育硕士810000仇开楼化归思想是中学数学最基本的思想方法，是解题思想的灵大值为√2．魂，是解题的“心向”．如何恰当地化归，乃是探索解题途径的中数与形的转化是本题的“心向”．坐标法是数与形相结合的心环节．怎样恰当地化归问题呢?下面本文具体举例阐述．重要桥梁，是化归的一种重要方法．把数与式联想或转化为函1．转换表达，化未知为已知数图象、利用数式的几何意义等是以形助数的基本思路．将未知的问题向其等价的表达形式上转化，这是解题的基4．以数解形，透过现象看

2、本质本方向．几何代数统一体，数形结合百般好．解析几何、空间向量都1一．例1已知函数，()=++a，g()=一a+2a是用代数的方法来研究图形的性质．“以数解形”往往会以更高的角度看清问题的本质．1+1，若存在、2∈[÷，o](口>1)使得I，(1)一g(x2)I≤例4在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为U9，则a的取值范围是一÷的椭圆E的一个焦点为圆C：x+y2—4+2=0的圆心．(1)1分析理解“存在、：∈[，。](n>1)，使得I)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之“积为—1的直线Z，z2，当直线z1

3、，22都与圆C相切时，求P点坐标．一g(x)I≤9相当于，()一g(x)≤9”是解决本题的关键．易知)=24-a2，g()=2a4-l，因为当a>1时，2分析本题的难点在第二问，入口较窄，破解其难点的入4-a>2a+1，贝0(2+a)一(28+1)≤9，所以一2≤a≤4，点是从熟悉的解过圆外一点求圆的切线的基本方法上．设又a>1，所以a的取值范围是(1，4]．P(m，n)，过点P与c相切的直线为Y—n=k(—m)，则有本题从存在性命题的结构上寻找其内在联系，将I，()一：化简：[(2一m)z一2]+2n(2一m)Jj}+n2一g(x：)l

4、≤9转化为，()一g(x)≤9，找出解题的“心向”．，√1+类似的有若M≥，()恒成立，则M≥)；若存在M≥)，则M≥，()～；若M≤)恒成立，则M≤，()；若存2再据两，线斜率之积为÷，得=÷，+告在肘≤)，则M≤，()一．2．变量代换。化未知为熟知-l，所以P(_2，3)、P(一2，_3)、P(警，华)、p(1、8．，一华)．将未知的问题向熟悉的问题转化，这是解题的基本策略．数学上，常用数式推理的逻辑性和严密性来研究几何图形例2已知函数)=l++,／1一+241一，求中对象的位置关系和数量关系，揭示几何对象结构的本质关)的值域．系．常

5、用的方法有代数法、解析法、向量法等．本题的“心向”是分析，()表达式中含有三个根式，通过观察发现利用求切线的方法将距离公式转化为关于k的二次方程．可见化归策略的重要性．1+、J1一的积正好为V1一，因此设t=J1++5．降元变换，化多元为一元，平方得：2~／，：t一2．则将求．厂()=~／1+通过换元等化归方法将多元向一元转化，是实现寻找解题1一+2V1～的值域问题转化为熟悉的二次函数m(t)“心向”的一种重要方法．=t4-t一2，t∈[，2]的值域问题．易知m(f)在[，2]上单例5已知关于的实系数一元二次不等式ax+bx+c≥调递增，

6、即有m(t)∈[，4]，所以-厂()的值域是[，4]．o(口<6)的解集为R，则M：之的最小值是——．本题虽然是单变量问题，但是表达式中含有三个根式增加了难度，如何转化?从表达式的结构上寻找其内在联系，发现解分析由已知条件得{>_≤0所以式上下同乘题的“心向”，通过换元，把未知问题——含三个根式的函数，．化归为熟悉的问题——二次函数．可见化归策略的重要性．以。，有M：．这样既能利用条件，又减少了原式Ⅱo—a3．以形助数．利用数式化直观中的字母c，为进一步解题提供了保证．对于一些具有几何背景的数学问题，需关注数与形的相互进而利用b一4ac≤

7、0将等式化为：转化．解题中若从数、形两个方面分析，既充分发挥形的直观2!≥：性，又注重数的严谨性，有利于问题的解决．M：aLD—a，ab—a例3已知口，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(口一c)·(b—f)=0，则Icl的最大值是——．分析建系，设口=(1，0)，西=(0，1)，C=(，Y)，由——掣Ⅱ_—一．设：t(t>1)'，舢则：=：=一1。一1．1．1(口一c)·(b—c)=0，得(一一)+(Y一÷)=一．二二‘(t一1)__=r_+4≥8(￡=3即b=3a时取=)．由几何意义知，c的起点、终点都在这个圆上，所以lcI的

8、最大值为√2．另考虑：因为(口一c)·(b—c)=0，所以口一c与本题依据解集为R的条件，利用不等式将三元变二元，再西一c互相垂直．又口上6且都为单位向量，所以口、西、口一C、一通过换元变为一