3.3 排序不等式 课件(人教a选修4-5)

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1、[读教材·填要点]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组实数，c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的和；S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的和．反序

2、顺序乱序2．排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么，≤≤.当且仅当或时，反序和等于顺序和．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b1＋a2b2＋…＋anbna1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…＝bn[小问题·大思维]1．排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两

3、乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别为何值？提示：由顺序和最大知最大值为：a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304，由反序和最小知最小值为：a1b5＋a2

4、b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.[研一题][精讲详析]本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解．[悟一法]利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c，所以可直接利用已知构造两个数组．[通一类][研一题][精讲详析]本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排

5、序不等式加以证明．[悟一法]在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．[通一类][研一题][例3]设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.[精讲详析]本题考查排序不等式的应用．解答本题需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有明确，因此需要进行分类讨论．(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：顺序和≥反序和，得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x

6、·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.(2)当0x>x2>…>xn，但①②仍然成立，于是③也成立．综合(1)(2)，证

7、毕．[悟一法]在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论．[通一类]证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1

8、．[考题印证][命题立意]本题考查排序不等式在求最值中的应用，考查学生变形求解的能力．点击下图片进入: