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《选修4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 教案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二圆锥曲线的参数方程教学目的：圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系，系数a,b的含义；教学重点、难点：圆锥曲线参数方程的推导及应用，参数方程与普通方程的相互转化椭圆的参数方程复习：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆参数方程（2）圆参数方程2．写出椭圆的标准方程，类比圆的参数方程，能写出椭圆的参数方程吗？问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的
2、坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有x＝ON＝
3、OA
4、cosθ＝acosθ，y＝NM＝
5、OB
6、sinθ＝bsinθ。当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是即 (θ为参数)。这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为。椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程(θ为参数)中参数θ的意义类似吗？由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是
7、半径OM的旋转角。2012.05.18选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)第13页共13页焦点在轴上的椭圆的参数方程：练习：已知椭圆＝1，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM＝60°。(1)求点M的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？错解：由已知可得a＝3，b＝2，θ＝600,∴x＝acosθ＝3cos60°＝，y＝bsinθ＝2sin60°＝。从而，点M的坐标为。正解：设点M的坐标为(x,y)，则由已知可得y＝x,与＝1联立，解得x＝，y＝。所以点M的坐标为(,)。另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M的坐标为(
8、OM
9、cos60°，
10、OM
11、sin60
12、°)。代入椭圆方程解出
13、OM
14、，进而得到点M的坐标(略)。例1求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A，矩形的面积和周长分别是S、L。，当且仅当时，，2012.05.18选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)第13页共13页，此时α存在。例2动点M(x,y)在曲线上运动，(1)求2x+3y的最大值和最小值；(2)求M，使M到直线x+2y-10=0的距离最小。并求出最小距离。解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为。由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为其中满足．由三角函数性质知，当时，取最小值此时，，所
15、以，当点M位于时，点M与直线的距离取最小值．例3设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且），则。当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当2012.05.18选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)第13页共13页时，距离d有最大值2。例4θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段例5已知点A在椭圆上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B（0，9），设A（），并
16、且设M（x，y）。则，动点M的轨迹的参数方程是（α是参数），消去参数得。例6椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。则。而OP⊥AP，2012.05.18选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)第13页共13页于是，整理得解得（舍去），或。因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。例7四边形ABCD内接于椭圆＝1，其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。双
17、曲线的参数方程与研究椭圆参数方程的方法类似，我们来研究双曲线的参数方程。如图,以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同心圆C1、C2。设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x轴交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成的角为φ(φ∈[0,2π)且φ≠π/2，φ≠3π/2),求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。设为始边，为终边的角为，点M的坐标是．那么点的坐标
