关注教学法表征的数学归纳法教学设计

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1、万方数据26数学通报2011年第50卷第4期关注教学法表征的数学归纳法教学设计陈雪梅王梅(河北师范大学数学与信息科学学院050016)表征是认知心理学的一个重要概念．有效的教学不仅需要充分的学科内容知识，而且需要丰富地表现各种数学观念与关系的呈现方式的知识，促进学生理解．教学法的表征是指教师和学生在课堂中应用的所有表征，它们作为数学知识的各种外部表示帮助解释一些概念、关系、联系或问题解决的过程．本设计在数学归纳法知识解析，以及学生学习问题诊断的基础上，利用知识表征理论突破难点，促进学生有效地进行数学抽象概括．1内容和内容解析数

2、学归纳法是《课标》实验教材选修2—2“推理与证明”中的内容，安排在“合情推理与演绎推理”和“直接证明与间接证明”之后，两个课时．在等差数列和等比数列的学习中，通项公式的推导多用不完全归纳法，其正确性还有待数学方法证明．因此，数学归纳法也是数列学习的深化和发展．．数学归纳法主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立．数学归纳法作为一种数学演绎证明的思想方法，同时也蕴含了“算法思想”．这主要体现在“归纳递推”步骤的形成中．归纳递推是对许许多多的“由上一项成立推导出下一项成立”的“重复”过程

3、抽象概括得到的，这是由“解法”向“算法”发展的过程中必然要经历的．从理论上说，数学归纳法提供了证明与自然数有关的一类命题成立的一般性的思想方法．以上述知识解析为基础，我们在教学设计时，体现了“观察一归纳一猜想一数学证明”的思考序列，突出数学归纳法，特别是递推思想的形成过程．使学生不仅掌握一种新的证明方法，而且能理解它的实质，领悟数学思维的美．2目标和目标解析数学归纳法教学的核心应是让学生体味数学归纳法的思想“精髓”，而不仅仅是记住解题的程式．因此，本节课的教学目标，应使学生：(1)感悟与正整数有关的一类命题仅用不完全归纳等合情

4、推理思想解决问题的局限性；(2)通过典型问题，抽象概括出数学归纳法思想及基本步骤．即用数学归纳法证明与正整数挖有关的命题P(咒)成立需要做哪几件事；(3)理解数学归纳法的思想方法，即为什么做了这几件事就能证明命题户(以)对一切正整数咒都成立．(4)体会数学思维中严谨与简洁的美．3教学问题诊断分析Fischbein等口1的研究调查了学生对理解数学归纳法原理的心理困难．结果约有50％的学生对数学归纳法原理的“归纳假设”存在理解上的困难．他们弄不清楚为什么可以随便假设P(n)成立，想检验归纳假设这个前提．根据Dubinsky，Lew

5、in[2]的分析，数学归纳法的认知图式涉及三个基本前提，即函数图式，逻辑图式，以及利用归纳法原理的证明方法的图式(见图3)．前面两个是关于原理本身的要素，后者是应用问题．理解数学归纳法的困难在于：首先，需要建立关于正整数的命题值函数的概念．其次，命题值函数的图式与蕴含演算的逻辑图式协调，构造出蕴含值函数，即Q=(P(砣)一P("+1))．“蕴含”命题Q成立与否是由P(咒)一P(咒+1)整体来决定．第三，从以正整数为定义域的命题值函数到对应它的蕴含值函数的转变过程．万方数据2011年第50卷第4期数学通报27教学过程设计方面突出

6、考虑：(1)如何让学生产生认知的需要，即导入问题的设计．要达到这个目标，首先要让学生产生“问题”——由“逐一验证”无法实现，“局部验证”不完备，不可靠而引出问题：“能否找到一种可靠的方法，并且通过有限步骤证明一个有关自然数竹的命题?”．有的教师用“摸球”的方式，有的教师利用“多米诺骨牌”游戏引入，虽然简单易操作，或者形象直观，但要概括出“数学归纳法”思想并不自然，而且降低学生的思维水平．有的教师采用“反例”，例如对任意自然数竹，，(咒)一，12+咒+41的值是否为质数?这个例子说明经验归纳不可靠很恰当，但并非应用数学归纳法的典

7、型问题，所以也不适合单独作为引入问题．(2)利用教学法表征克服难点．知识的获得不仅具有活动性、建构性、社会性、还具有情境性、默会性．知识的不同外部表征的作用是：(口)让学生明确命题值函数的特点，促进学生形成“证明命题值函数的策略和方法”．(6)促进学生抽象概括数学归纳法的核心思想和形式步骤．(c)利用多米诺骨牌游戏活动等丰富学生对数学归纳法的表象，促进意义建构和理解．4教学过程4．1创设问题情境。激发学生的认知需要问题1我们前面学习了数列．已知数列{口。)的第1项口1=1，且口科l=鲁(咒∈N+)，请1l“^大家思考，口。的通

8、项公式是什么?图l问题2口。=三?你是怎样发现这个规律的?设计意图这个问题本身难度适宜，建立在学生已有知识的基础上．学生易于观察规律，得出猜想．使得学生的注意力集中于对证明方法的探寻．通过让学生反思猜想的过程，明确所应用的方法是基于特例的不完全归纳．问题3根据几个少数特例归纳