特征值和特征向量的物理意义.doc

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1、特征值和特征向量的物理意义特征向量体现样木之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。特征向量的几何意义•矩阵（既然讨论特征向量的问题•当然是方阵•这里不讨论广义特征向量的概念）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量•因此•矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵•使得这个变换的效果就是将平血上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以

2、在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没令特征向量（注意:特征向量不能是零向量）.所以一个变换的特征向量是这样--种向量•它经过这种特定的变换后保持方向不变•只是进行长度上的伸缩而已（再想想特征向量的原始定义Ax=ex.你就恍然人悟了.看到了吗?ex是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然ex和x的方向相同）•而且x是特征向量的话.ax也是特征向量Q是标量且不为零）.所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族.另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而匕对一个

3、变换而言•特征向量指明的方向才是很重要的•特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的东西！比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标収相反数.把这个变换表示为矩阵就是[10,0-1].其屮分号表示换行•显然[10,0-1]*gb]'二[a-b]，.其中上标'表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜-下了•这个矩阵的特征向量是什么？想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然•横轴上的向址在这个变换下保持方向不变（记住这个变

4、换是镜像对称变换.那镜子表面上（横轴上）的向量当然不会变化）.所以可以直接猜测其特征向量是30]'Q不为0）.还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向•但仍在同一条轴上•所以也被认为是方向没有变化。综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Specmdtheorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。Spectraltheorem的核心内容如下：一个线性变换（川矩阵乘法表示）口1表示为它

5、的所有的特征向量的一个线性组合，其屮的线性系数就是每一个向量对丿应的特征值，写成公式就是：T（V）二入1（VI.V）V1+入2（V2.V）V2+X3（V3.V）V3+...从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向址所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向暈上的贡献率——说的通俗一•点就是能量（power）,至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手屮，你还吊什么吊？我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作

6、一•个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示,用图來表示的话，可以想象就是…个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴H然就成了隐性特征）,因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一•特点,使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。关于特征向量（特别是特征值）的M川实在是太多太多，近的比如俺曾经

7、提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量來表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank,也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Weh各个网页“节点”之间的关联）的特征向量來对每一•个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方血，都有应用，有兴趣的兄弟可以参考IBM的Spiros在VLDB”05,SIGM0D"06±的几篇文章。特征向量不仅在数学上,在物理,材料,力学等方面（应力、应变张量）都能一展拳脚，有老美曾在一本线代书

8、里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”，确实令人肃然起敬+毛骨悚然特征值就是那个矩阵所对应的一元多次方稈组的根特征值表示一个知阵的向量被拉伸或压缩的程度，例如特征值为1111111111,则表示经过变换以后，向暈没有被拉伸，在物理上表示做刚体运动，相当与整体框架做了变动，但内部结构没有变化.量子力学屮，矩阵代表力学量，矩阵的特征向量代表定态波函数，矩阵的特征植代表力学量的某个可