2013年全国高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用 文.doc

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1、专题二　函数与导数第3讲　导数及其应用真题试做1．(2012·辽宁高考，文8)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)2．(2012·辽宁高考，文12)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(　　)．A．1B．3C．－4D．－83．(2012·天津高考，文20)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(3)当

2、a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．考向分析从近三年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数主要有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．热点例析热点一　导数的几何意义【例1】设函数f(x)＝ax＋(a，

3、b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．规律方法1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．2．求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0，f(x0))，由点斜式得切

4、线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．变式训练1(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝__________；(2)设f(x)＝xlnx＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为__________．热点二　利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f(x)＝x2＋alnx.-8-(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函

5、数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．规律方法利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0.②若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间内恒成立问题求解．解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．变式训练2已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性．热点三　利用导数研究函数极值和最值问题【例3】已

6、知函数f(x)＝x3－ax2－3x，(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f(x)的导数f′(x)；(3)①若求极值，则先求出方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左右边f′(x)的符号，求出极值．当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内．②若已

7、知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．变式训练3设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化