第3章 lti系统的时域分析和信号卷积

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1、第3章LTI系统的时域分析和信号卷积3.1引言■主要讲述内容●用时移单位冲激的线性组合表示信号的表示法●LTI系统的卷积关系及各种卷积计算方法●卷积的收敛和周期卷积●卷积的性质及其在LTI系统分析中的作用●LTI系统单位冲激响应及其与系统特性间的关系●LTI系统的单位阶跃响应●奇异函数及其在信号与系统理论和方法中的作用■诱导出LTI系统分析方法的基本思想首先介绍和讨论如何利用LTI系统的两个良好特性(线性叠加性和时不变性)，导出LTI系统简便有效分析方法的基本思路。3.1引言(续)假设有一类连续

2、时间和离散时间信号i()t和i[]n，连续时间和离散时间LTI系统对其的响应分别为i()t和i[]n，即LTILTIii()tt()和，ii[]nn[]i1,2,基于时不变性，对于任意实数tk和任意整数k，则分别有()ttLTI()ttLTI和[]nk[]nkikikii再根据线性叠加性质，如果任意输入信号x(t)和x[n]可表示为xt()aki(ttk)和，xn[]aki[nk]i1,2,kk则LTI系统对

3、它们的响应y(t)和y[n]分别为yt()aki(ttk)和，yn[]aki[nk]i1,2,kk这表明LTI系统的响应可以分别用与x(t)和x[n]相同的线性组合形式构造出来。3.1引言(续)由此可以得到启示：如果能找到称为基信号或基函数的基本信号或，i()ti[]n它们具有如下两个性质：(1)用它们能线性组合成相当广泛的连续时间和离散时间信号;(2)LTI系统对它们的响应结构上又十分简单，使得LTI系统对任意输入信号的响应有一个简便的表达式。这就是基于充分利用LTI系

4、统的良好特性，获得简便有效的系统分析方法的基本思路。遵循这样的思路，前人找到了几类同时满足这两个性质的基信号或基函数，以及相应的LTI系统分析方法：●δ(t)派生的奇异函数及其离散时间对偶δ[n]、u[n]等，由它们导出了分析LTI系统的卷积方法；jtjn●{e}和{e}，由此导出了LTI系统的频域分析方法；stn●{e}和{}z，由此导出LTI系统的复频域分析方法。3.2时移单位冲激的线性组合的信号表示法本节分别导出用δ(t)和δ[n]能构成任意的连续时间和离散时间信号的表达式。下面先看离

5、散时间的情况：从右图可以写出xn[]xn[]x[2][2]n-4-13-201245n+-x[1][1][0][]ddnxn+++-xn[1][dd1]+-xn[2][2]xn[][]11+-xn[3][d3]+-1-6-4-201235n运用数学归纳法得到如下表达式：xn[][]0xn[]xk[][nk]-2-6-4-101235nkxn[][11]这就是用时移单位冲激序列的线性组合表示任意有界序列的表达式。-5-3-2-101235n3.2时

6、移单位冲激线性组合的信号表示法(续)n例如：un[]和单边指数序列xn[]aun[]可分别表示为：kun[][nk]和x[]na[nk]k0k0与此对偶的连续时间情况，需要用类似于数学中推导连续函数积分的极限方法来导出。首先，任意有界的连续时间信号xt()可以用阶梯状信号xtˆ()来近似，如下图所示。从图中还看出xtˆ()又可以表示为时移矩形脉冲的线性组合，即xtˆ()xk()(tk)k1,t2其中，()t。显然，lim()xt

7、ˆxt()，即有0,t20xt()lim()limxtˆxk()(tk)00k随0，则，k()()tkt，xk()()x，d3.2时移单位冲激线性组合的信号表示法(续)xt()上述求和的极限就成为如下xt()的一个积分xt()x()(t)d-D0Dt这就是用时移单位冲激函数的一个连续的线性组合来表xt()()-+DdΔD示任何处处连续的有界信号0txt()的表示法。x(0)()dtu

8、t()Δ例如：和单边指数信号atx()etu()t可分别表202t示为xt()(Dd-D)ut()(t)dΔ0atut()e(t)d0和03.2时移单位冲激线性组合的信号表示法(续)说明：如果是包含孤立不连续点的连续时间信号，则可以表示为一个处处连续的信号与xt()2表示孤立不连续点的奇异函数(见3.8节)之和。1例如，右图的连续时间x()t101t信号可以表示为：a(1)xt()(t1)(t)de(t)d0