从对称到群的定义.pdf

《从对称到群的定义.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、内蒙古：[业大学学报JOURNALOFINNERMONGOLIA第32卷第4期UNIVERSITYOFTECHNOLOGY文章编号：1001—5167(2013)04—0003—03从对称到群的定义吴妙玲，单妍炎(内蒙古工业大学理学院工科数学部，呼和浩特，010051)摘要：群是“抽象代数”中重要的代数系统，有广泛的应用。文章由三种感知上的对称—一平面图形的对称、数域的对称和多项式的对称，引出了抽象群的定义，并将抽象群和对称群进行了比较，通过对比，可以看出由对称引出群这一做法形象直观，通俗易懂。关键词：抽象群；对称群；二元运算中图分类号：G642文献标识码：A在“抽象代数”的各种代数系统中，“

2、群”是最重要、最基础的一个，其它的代数系统如：环和域，都是建立在群之上的。一直以来群的定义的引人都是这样做的，即在没有任何前提条件下直接给出群的定义，只说“群是一个带有运算的集合，该运算满足结合律，有单位元，任一元有逆元”，而对于为什么群中要有运算，为什么该运算要满足结合律，为什么要有单位元，为什么每一元要有逆元，这样的问题直到学完群学习者也解不开。为避免此类问题出现，我们的想法是由“对称”引人“群”，即体现“对称即群”的思想。1认识中的对称1．1图形的对称。人们感到有些图形对称，有些图形不对称，其实图形的对称就是经过某些运动又回到自身，例如，圆绕圆心的旋转以及正方形绕对边中点连线的翻摺，都使

3、图形回到自身，用使图形回到自身的所有运动来刻画图形的对称是自然的，符合我们的直观感觉。“对称”的数学描述：M是一个非空集合，M的变换是指M到自身的一个对应。M的可逆变换是M到自身的一一对应，所以“对称”就是M到自身的一个可逆变换。平面图形(如圆、正方形)的对称是平面上的一个保距变换‘p，它是平面图形到自身的一个可逆变换，且满足性质：A、B是平面上任意的两个点，‘P(A)和‘p(B)的距离等于A和B的距离。两个保距变换可以相乘，且满足结合律，保距变换有恒等变换，每个变换有逆变换。于是我们把平面上所有的保距变换‘p和它们的乘法运算一起称为平面的对称群。1．2数域的对称。平面图形是一个几何结构，它是

4、把一个点集M连同M中任意两点间的距离作为一个整体来考虑，而其对称群就是M的保持其任意两点间距离的变换的全体，这些保持M距离变换的全体，就刻画了几何结构的对称。完全类似地，数域F是一个代数结构，它是把一个数集F连同F中加、减、乘的运算作为一个整体来考虑。数域的对称也同样可用F的保持运算的变换(自同构)的全体来刻画，虽然它不像图形对称那样直观，但它是客观存在的。数域F的对称是数域F的一个自同构‘p：F到F的一一对应，且保持加法和乘法运算。两个自同构可以相乘，且满足结合律，有恒等变换，每个自同构有逆变换。于是我们把数域上所有的自同构‘p和它收稿日期：20013～05—15作者简介：吴妙玲(1964一

5、)，副教授，研究方向：格论与模糊数学。第4期吴妙玲等从对称到群的定义251们的乘法运算一起称为数域的自同构群。数域的自同构群相当于图形的对称群，后者刻画了图形的对称，前者刻画了数域的对称——它是图形对称在数域上的一个类比概念。‘1．3多项式的对称。以数域F中的数为系数的n元多项式的全体记作。，，⋯，]=e[x]，每一n元多项式可唯一地表示为fCl，l，⋯，1)=EkXl81X2e2．．．其中i∈Zu{0}，而k。∈F。令置换日=2)'其中(i，i，⋯，)是I，2，⋯，，l的一个排列。现在我们利用日定义]到e[x]的一个映射丁Ⅳ：I，2，⋯，)，，吐，⋯，i)[eEx]-~eEx]]其中⋯)是把

6、，，⋯)中的换成换成吐⋯后得到的多项式。令是所有置换日的集合(共几!个)。两个Ⅳ可以相乘，且满足结合律，有恒等变换，每个日有逆变换。我们把和它上的乘法运算一起称为，[]的置换群。如果把n元多项式和平面图形类比，把]和平面类比，则，[]的置换群相当于平面的对称群。2由对称引出群的定义把平面图形、数域和多项式看成是客观事物，下面我们用任意客观事物的对称集S()，来描述的对称性。5()是使得仍回到自身的变换的全体，我们把s()称为的对称。虽然这个5()与人们心目中的对称有差距，但scr)是我们心目中直观对称的一个数学模型。仔细考察由K的对称变换构成的集合S(K)，发现它不是一个普通的集合，而是一个带

7、有运算的集合，s(r)中两个运算可以相乘，而且这一运算对s()有封闭性，且满足结合律，有恒等变换，每一变换又有逆变换，我们就把S(K)和它上的乘法运算一起称为K的对称群。于是抽象群的定义产生了，即定义：设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算．满足(1)结合律：对任何口，b，C∈G有(口·6)·C=口·(b·c)；(2)存在单位元e使对任何口EG有e·口=Ⅱ·e：n；(3)对任何口∈G有逆元口