从导数的前世到今生的认识.pdf

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1、李习凡一个无穷小的无限世界，虽然它不可触故事2：一尺之棰摸，但我们却可及，因为我们有了导数这一《庄子·天下篇》中，庄子提出：“一尺之工具．导数带领我们进入了这个神秘的无限棰，日取其半，万世不竭”．也就是说，一尺之世界，但它的形成却不是一帆风顺的，甚至棰是一有限的物体，但它却可以无限地分割是曲折艰难的．我们一起来回顾导数形成的下去．前世到今生的历程，更好地理解导数的意义这两个故事的问题到底出在哪里?它和价值．们的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀一起了一场轩然大被．说明了当时的人们已经、导数的前世看到“无穷小

2、”与“很小很小”的矛盾，但他们我们要认识导数的前世，先来看两个无法解决这些矛盾．其实，我们从故事中不故事：知不觉进入了一个无限的世界，一个我们看不见摸不着却存在的世界．而庄子提出这个故事I：永远追不上乌龟辩论讲的就是有限和无限的统一，有限之中阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄，有无限的辩证思想．芝诺是一名古希腊哲学家和数学家．芝诺认为，阿基里斯永远追不上乌龟．他的论证简要说来是这样的．乌龟先起跑一段，阿基里☆二、导数形成斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起我们再来读读李白的《送孟浩然之广陵》：跑点．可他跑到乌龟的起跑点需要一定时故人西辞黄鹤楼，

3、烟花三月下扬州．间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流．经前进了一段路了，于是他又必须花一定的在“孤帆远影碧空尽”一句中，我们看时间赶到乌龟的新的所在的点．而当他赶到蕈一“孤帆远影”的大小，它随着长江水下扬州，乌龟新的所在的点时，乌龟又已经前进了一逐步变小，最终“碧空尽”，即趋向于0．段路了．因而如此下去，阿基里斯永远也追在“一尺之棰，日取其半”中，尺的长度不上乌龟．不断变小，虽万世不竭，但最终趋近于0．在这里我们引入一个数学名词——极限．它和我们生活中的“极限”在意境上是相通的．极限是包含“极”和“限”，常称不可

4、逾越的数值为极限．我们经常说挑战极限，就是我们不断努力去接近一个很难接近的临“闷0川艮蠹t掰一；辫量Ax，则Ay可割，则无失矣”，就是多边形分割越细越趋当△无限趋近于0时，无限趋近L近于圆．于2x．现在我们可以开始导数形成之旅，来体所以Y一32。的导数为2x．会导数的意义．另外，在西方广为流传的一本数学科普旅行～：如何理解瞬时速度著作《为百万人的数学》是这样叙述导数的：如果一辆汽车在1h内走了100km，那如果在一条曲线上运动的两点P，Q不么我们常说车速是100km／h，但这只是它的断靠拢，使得很难区别两点是沿着原曲线还平均速度．在实际行驶过程

5、中，是有快慢变是沿着直线段P，Q彼此非常接近，这时尽管化的，不都是100km／h，第1h这一时刻也P，Q的坐标有十分微小的差别，但在测速不一定是100km／h．仪上的指针几乎是不动的，直线段P，Q的斜如果汽车的位移5(m)与时间t(s)的函率，即测速仪上的读数．数关系式为S一2t，那么如何解决第1S这所以，导数在几何表现为切线的一时刻的速度呢?斜率．假设从1S末开始经过很短一段时间△￡到时亥01+At，三、导数的困扰则位移的改变量As—S(1+At)一S(1)一4At+2△￡。，在许多人多年努力的基础上，牛顿和莱所以这段时间内的平均速度为一As

6、布尼兹在17世纪后期创立了微积分，形成了无穷小演算，即导数形成中△￡和A无限一4+2At．趋近于0．由于它运算的完整性和应用的广当△￡无限趋近于0时，V无限趋近于泛性，微积分成为解决问题的有力T具．4，因此汽车在第1S的瞬时速度为4m／s．但是在微积分学刚开始产生时，关于微将此问题推广到求第tS的速度，则一积分基础的问题也越来越严重．凶为它主要As一4f~-2At,当A￡无限趋近于0时，无限建立在无穷小分析之上，而关键问题就是无趋近于4￡，因此汽车在第tS的瞬时速度为穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致4tm／S．矛盾．牛顿对它曾作过三种不同解

7、释：1669你有没有发现，平均速度神奇般地转变年说它是一种常量；】671年又说它是一个趋为瞬时速度．瞬时速度反映了某一个时刻的于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的局部性质，从而将有限世界神奇般地过渡到量的最终比”所代替．了无限世界．而英国大主教贝克莱于1734年以“渺旅行二：如何理解曲线的切线小的哲学家名义”写了一本书，攻击流数(导我们来求Y—的导数．数)“是消失了的量的鬼魂⋯⋯能消化得了夔㈣“‘哪iU'titrag7~ami~atio，。二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学越少，但只是无限论点就呕吐的”．在这本书中贝克莱对微积龟的例子

8、中，无限分理论进行了攻击，他指责牛顿，为了计算量，这个和就是极的导数．先给取一个不为0的增量△z，由(+△z)一，得到2／',x+Ax，再除以四、导数