搭桥术的“桥”是如何找到的？.pdf

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3、g．．。_2、4谦6t、jl誊是如何找到陆建根(江苏省镇江中学)文献[1]提出，为解决纷繁杂难的对称不等式证≥0，所以不等式≥堑恒成立。明问题，通过寻求适当的“桥”一“零件不等式”，然后进行简单的“叠加”，便可以获证。这种方法可以解同理≥二，≥塾，所以V1_4_十一4决很多不等式难题。但是要解决这类问题，首先要能找到适当的“桥”，那么这些“桥”是怎么找到的呢?++≥++z+vv++；一一4。41分析指数通过待定系数法寻找“零件不等式”一手(z+。+)一1(xy+．yz+)≥通过对要证不等式结构的分

4、析，可以把一个复杂3(xy++z)一1(xy+yz+)一墨的不等式拆分为几个简单的不等式，简单不等式的系。数可以通过待定系数法确定。2利用对称性分析不等式的结构，寻找“零件例1(2010年吉林省高中数学竞赛预赛试题)不等式”设x>O，y>O，z>O，求证：—_L、>兰±兰±兰从结构上看，绝大部分不等式是对称的，而一个x+—y十十——一。复杂的对称不等式往往是由几个不对称的简单的不分析：分式÷的分子为三次式，分母为一次等式“叠加”起来的。所以寻找“零件不等式”的过程上T实际上是利用要求证不等式的结构去寻找“叠加”前式，所以该分

5、式为二次式，因此构造不等式所得右式的不等式的过程。应该是二次式，由此假设“零件不等式”为≥。例2(2O10年日本数学奥林匹克试题)设5C，Y，@,axy，下面设法确定系数、。为正实数，证明：显然原不等式当z—Y—z时取等号，所以上述不等(1++等Y)+。茉(1++等)+。等(1++Y)≥～。等式当—Y时取等号，易得+一言，即

6、_≥z分析：本题要求证的不等式具有对称性，比较容+(1一)，该不等式等价于(1一)3一I一易得到“零件不等式”：薷≥二。(专一)xy。≥0，上式可以分解为(z—Y)验证：由柯西不等式，得(1++)(1+

7、．y+·(1一)12+(丢一)xy]≥0。因为上述不等式恒≥(1++栅等≥。成立，必含有因式(—)，所以(1-A)+(寺一)同理謇≥Y，研+zx+zy≥xy中有因式91"一Y，即当—Y时，(1-A)。+(专一—一_T-。三式相加，即得所证不等式。1-V1IZ)z一0，所以一，一一1，即≥=三_型。例3(第42届IMO试题)设n，b，C∈R，求证：瓜+。+>1。验证：当z>o，y>O，2>0时，一===+8bc+8ca

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10、l____¨___ll一。．632014‘6t、0羁构造函数／()一27x一6x，则f()一8lx

11、一文献[一1]一给出例3的“零件不等式”_~／≥日+8bc12x,显然①式在n一6一c一÷时取等号，(÷)一5，_，学生是很难想到的，特别是指数÷。如n3十3十C3所以函数厂(．z)=27z3—6z在点(÷，1)处的切线果不能得到这个不等式，那么该问题也就没法解决。类比例2，根据对称性学生可能会想到构造这样方程为—1z～1)，即一5一4，所以要构的“零件不等式”：≥。但是不难发造的“零件不等式，，为27z。一6xz≥5z—4。现，当“一1，6—2，c一3时，一1，一验证：对于任意正实数，273L,3-6X2-5z一号)1(3

12、一一1)z(9+4)≥0恒成立，所以不等式27z。吉，不等式志≥不成立。')Fh此想到“零件不等式”可能会是：一6xz≥5一4贼同理279-6y2≥5—4273，，≥。①6zz≥5一4d++(’—、，所以27。一6+27。一6+27z。下面要设法寻找是的。一6zz≥5一号+5—4+52一4—5(++z)一4设f(a)-，一，显然如—1，即27(Ⅱ。+6。+c。)≥6(n+6+c。)+l。故m的果①式成立，则当n一6一C=1时不等式取等号。最小值为27。令l，则焘'g(一，4不具备条件的创造条件去寻找“零件不等式”+一如果学生

13、真正掌握了上述方法，那么就可以自己厂㈩一(“)一警，去搭桥，自己去证明类似的不等式，即使有些问题的结构与上述问题不同也可以创造条件去搭桥，使得问由／(1)一g(1)得志一4，题得到顺利解决。例5(第30届IMO加拿大训练题)设n，b，f是即“零件不等式”为≥，验“I0fJL“Il，IL正数，且“+6+c一1，求证：+T二+证同文献[1]。≥。3通过构造函数求函数图象的切线寻找“零件不等式”证明：令“一，b。一y，C一，则原不等式等价于：当要求证的不等式的条件中有n+b+C一(为常数)时，构造的“零件不等式”的右式一般应该是设

14、z，，是正数，且++一1，求证：+一个一次式，其对应的函数图象是一条直线，从几何意义上分析该直线就是左式函数图象在某特殊点处1一v。1一，／2。的切线，所以我们可以从求左式函数图象的切线人手去寻找“零件不等式”。⋯沪(1例4(第3届东南数学奥林匹克试题)求最小的-x)~，实数z，使得对于满