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1、第二章习题答案2-2验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间(t,tt+D)内从状态k转移到k+1（k>=0）的概率为lDt+Dot()，l为状态k的出生率；当有顾客服务完毕离去时，在时间(t,tt+D)内从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为mDt+Dot()，m为状态k的死亡率；在时间(t,tt+D)内系统发生跳转的概率为ot(D)；在时间(t,tt+D)内系统停留在状态k的概率为1-(lm+)Dt+Dot()；故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。¥2k2
2、-3对于一个概率分布{pk}，令g(X)=p0+p1x+p2x+...=åpkx称为分布k=0{p}的母函数。利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。k解：对于M/M/1kp=r(1-r)k³0k1g(zz)=(1-r)+(1-r)rr+...=-(1)1-rz'rE[k]==gz()/z=11-r¥¥22''2rVar[k]=ååkpk-[kpkz]=g(z)/=1+E[k]-=(Ek[])2kk==11(1-r)2-4两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明：Z的母函数为X,Y母
3、函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。证：设Z(!!!此处应为X???)的分布为：p,p,p...，Y的分布为：q,q,q...012012由于kkkp{Z=k}=p{X+Y=k}=åp{X=r,Y=k-r}=åp{X=r}{pY=k-r}=åpqrk-rr=0r=0r=0PDFcreatedwithpdfFactorytrialversionwww.pdffactory.com(2)(2)()()kp+px+px+...q+qx+qx+...=p0q0+pq1+p1q0x+...+p0q+p1q1+...
4、+pq0x+...0120120kk-k所以g(Z)=g(X)g(Y)对于两个独立的Poisson流，取任意一个固定的间隔T，根据Poisson过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：k(liT)-liTp(T)=ei=1,2这两个分布独立kk!分布列的母函数分别为：¥¥kpTxk(liT)k-liTliTx-liTliT(x-1)åk()=åxe=ee=ek=0k=0k!他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积=el1T(x-1)el2T(x-1)=e(l1+l2)T(x-1)所以合并流为参数l+l的P
5、oisson过程。122-7求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布E的概率密度。k+1k(mx)-mx可以根据归纳法验证，E的概率密度为mex>=0k+1k!证明：利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求Z=+XY的分布，当X和Y相互独立时，¥且边缘密度函数分别为fx()和fy()，则f()z=-f()xf(zx)dx。XYZòXY-¥k+1阶Erlang分布是指k+1个彼此独立的参数为m的负指数分布的和。用归纳法。2-mx当k=1时，需证2阶Erlang分布的概率密度为xemtt-mx--m(tx)22--mm
6、ttf1()t=òòmemedx==mmedxte-¥-¥k()mt-mt令nk=时成立，即f()te=mkk!则当nk=+1时，PDFcreatedwithpdfFactorytrialversionwww.pdffactory.comktt()mx-mx--m(tx)fkk+1()t=òòf()xf(t-=x)dxmmeedx-¥-¥k!kk++21mm--mmttkt()t==eòxdxemkk!-¥(+1!)PDFcreatedwithpdfFactorytrialversionwww.pdffacto
7、ry.com第三章习题答案aB(s-1,a)3-1证明：B(s,a)=s+aB(s-1,a)ss-1s-1aakaasaB(sa-1,)(ss--1)!åk!(1)!ask=0!证：====B(sa,)s-1ss--11sss+-aB(sa1,)sasaaaakkak++(ss--1)!ååkk!!(1)!åk!kk==00k=0sB(s,a)3-2证明：（1）C(s,a)=,s>as-a[1-B(s,a)]1（2）C(s,a)=B(0,a)=1，且s>a-11+(s-a)[aB(s-1,a)]（1）证：sss
8、aakasåsB(s,a)s!k=0k!s!==s-1sss-1s-a[1-B(s,a)]saakakakaak-åk!åk!åk!-åk!k=0k=0k=0sk=0sass!a1==p=C(s,a)ss-10aasaks!1-a/s+(1-/)ås!k!k=0（2）证：sa11s!==-1s-1s-11+(s-a)[aB(s-1,a)]akasasakåk!s!+(1-/)åk!k=
