圆台上蚂蚁爬行最短路径问题

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1、42数学通报2O12年第5l卷第3期圆台上蚂蚁爬行最短路径问题范兴亚。管涛。(1．首都师范大学数学科学学院1000482．中国人民公安大学理科基础部1000383．北京市第四中学数学组100037)蚂蚁爬行的最短路径问题，是讨论在规则立体图形表面上蚂蚁从一点爬到另外一点如何选择路径所走路程最短的问题．此问题背景简单、生动、活泼，而解决此问题中需要运用几何学中两点之间线段最短等基础知识，并渗透了把空间问题转化为平面问题的等基本数学思想方法．对于蚂蚁在立方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台表面爬行的最短路径问题，在文_】j’_2中都进行了一些讨论．图1图2同时也

2、有很多老师利用此背景进行了很多行之有其实，在文_l8lJ’E9中，已经通过几何画板建立效的教学设计．目标函数图像观察猜想图2这种先爬到上边缘上文I1[4利用此背景探究了正方体、长方体，某一点，然后再经过一段弦这种路径不可能为最圆柱体上蚂蚁爬行的最短路径问题，生成了环环短路径，文[gj'Eao而后进行了严格证明．相扣，层层深入的探究性学习资源，在教学实践中我们都知道圆柱可以看成是上下底面相同的取得很好的效果．但是应该指出的是，对于圆柱的圆台．在本文中，我们完整的讨论圆台上蚂蚁爬行最短路径问题的讨论是不严格的，他并没有考虑最短路径问题．圆柱的最短路径问题也

3、就迎刃而蚂蚁先爬到上边缘上某一点，然后再经过一段弦解了．为了表述一般化的情形，我们提出并研究了这种路径是否最短．如下问题：事实上，对于圆柱上蚂蚁爬行最短路径问题的讨论，在文中，更为一般化的问题已经提出．如图1，文l_5中试图讨论一个高为，底面半径为a的圆柱，在圆柱的下底面A点，有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程问题．同样，也只比较了沿着母线和直径这种路径，与沿侧面展开图的最短路径这两种路径所走路程的大小关系．对于图2中沿A—C—B这种路径与上述两种沿路径所图3图4走路程的长短关系的比较，文L5提出并没有给出问题如图3

4、，圆台的高为h，上底面半径为结果．直到最近文ll7也还在争论这个问题，说n，下底面半径为b．在圆台下底面A处有一只蚂明这个问题对于中学老师所产生的困惑很大．蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?若蚂蚁从A点走到B点，它至少要经过圆台2012年第51卷第3期数学通报43上边缘一次，也就是爬行的路径与圆台上边缘至少有一个交点．根据两点之间线段长度最短，则最s(z)：AD+DB一+r2—2Rrc。s手+短路径与上边缘交点只有一个．如图4，其最短路cosc∈[o，(arccos专)·r]．径是先走圆台侧面的曲线AD，再走上底的弦

5、DB到达B．下文中所指的BD如不特别指明都是指上底的弦DB．如图5，设圆台的半个侧面展开图扇环的内径为r，外径为R，所对的圆心角为0，CD的长度为，计算可得上底面的半周长为，上底面的半径口，一—、为n一，BD在圆台上底面中所对的圆心角为p兀I璺Ib圈7一f1一1丌，上底面线段DB的长度．下面我们将证明，上述两种情形，S(z)的最sin((一芳)·号)小值一定在边界处取得．求解上述s)在区间[o，min{，(arcc。s素)·r}]的最小值问题，我们综合使用一元函数微分学，经过多次变换后寻求到一种解决问题的思路．(1)首先，S(x)=AD4-DB=／R2

6、+rz-2Rrcos+c。s()'0≤≤~min0r，arccos专)·r}是闭区间上连续函数，图5从而s(z)在区间定义域上存在最小值．根据圆台半个侧面展开图的形状，我们首先(2)其次，证明S(z)在开区间(0，min{Or，讨论D点可能出现的位置．(arccos专)。r))内，最多只有一个稳定点(导函情形1如图6，当≤arccOS专时，此时对数的零点)．于BC上任意一点D，由A点经过D点到B点的(3)最终，证明S()不可能在(o，min{，最短路程：●_●_-。。'_-_-●。●_-●-。。●'_●_-_。●'_——(arccos亩)。r))内，取

7、得极小值·s()一ADq-DB一√R+r。一2RrcOSxr十为了计算上形式的方便，不失一般性，我们可20r一∞。fl1／，z∈一LO，]J．。以令r一1，尼一刍．情形2如图7，当>arccos古时，过A点此时，S(z)一AD+DB一干丁=』、、作Bc的切线段AP．+c。s(，z∈(o，min{rcc。s1})，如果D点落在PB上，则任意一条由A到B则S(z)一AD+DB一_~／===的路径，不小于切线段AP+弦PB．因此，D点只1+尺一2RCOSX能在CP上取得．由A点经过D点到B点的最短—sinkx．路程：由于z≤，故kx<-~．44数学通报201

8、2年第51卷第3期arcc。s专时，令S2S(arccos专)’r)f、≥sin