最新数学分析知识点最全汇总.doc

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1、第一章实数集与函数§1实数授课章节:第一章实数集与函数——§1实数教学目的:使学生掌握实数的基本性质.教学重点:(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.(它们是分析论证的重要工具)教学难点:实数集的概念及其应用.教学方法:讲授.(部分内容自学)教学程序:引言上节课中,我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题.从本节课开始,我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容.首先,从大家都较为熟悉的实数和函数开始.[问题]为什么从“实数”开始.答:《数学分析》研究的基本对象是函数,

2、但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数).为此,我们要先了解一下实数的有关性质.一、实数及其性质701、实数.[问题]有理数与无理数的表示不统一,这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要,我们把“有限小数”(包括整数)也表示为“无限小数”.为此作如下规定:对于正有限小数其中,记;对于正整数则记;对于负有限小数(包括负整数),则先将表示为无限小数,现在所得的小数之前加负号.0表示为0=例:;利用上述规定,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.在此规定下,如何比较实数的大小?2、两实数大小的比较1)定义1给定两个非负实数,.其中

3、70为非负整数,为整数,.若有,则称与相等,记为;若或存在非负整数,使得,而,则称大于或小于,分别记为或.对于负实数、,若按上述规定分别有或,则分别称为与(或).规定:任何非负实数大于任何负实数.2)实数比较大小的等价条件(通过有限小数来比较).定义2(不足近似与过剩近似):为非负实数,称有理数为实数的位不足近似;称为实数的位过剩近似,.对于负实数,其位不足近似;位过剩近似.注:实数的不足近似当增大时不减,即有;过剩近似当n增大时不增,即有.命题:记,为两个实数,则的等价条件是:存在非负整数n,使(其中为的位不足近似,为的位过剩近似).命题应用例1.设为实数,,证明存在有理数

4、,满足.证明:由,知:存在非负整数n,使得.令,则r为有理数,且70.即.3、实数常用性质(详见附录Ⅱ.).1)封闭性(实数集对)四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍是实数.2)有序性:,关系,三者必居其一,也只居其一.3)传递性:,.4)阿基米德性:使得.5)稠密性:两个不等的实数之间总有另一个实数.6)一一对应关系:实数集与数轴上的点有着一一对应关系.例2.设,证明:若对任何正数,有,则.(提示:反证法.利用“有序性”,取)二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为.2、几何意义从数轴看,数的绝对值就是点到原点的距离.表示就是数轴上

5、点与之间的距离.3、性质1)(非负性);702);3),;4)对任何有(三角不等式);5);6)().三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:即:等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证:由且704、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.[练习]P4.5[课堂小结]:实数:.[作业]P4.1.(1),2.(2)、(3),3§2数集和确界原理授课章节:第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的:使学生掌握确界原理,建

6、立起实数确界的清晰概念.教学要求:(1)掌握邻域的概念;(2)理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理).教学难点:确界的定义及其应用.教学方法:讲授为主.教学程序:先通过练习形式复习上节课的内容,以检验学习效果,此后导入新课.引言70上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论;此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面,我们先来检验一下自学的效果如何!1、证明:对任何有:(1);(2).()()2、证明:.3、设,证明:若对任何正数有,则.4、设,证明:存在有理数满足.[引申]:①由题1可联想到

7、什么样的结论呢?这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了!而要多想想,能否具体问题引出一般的结论:一般的方法?②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同;理论性强,概念性强,推理有理有据,而非凭空想象;③课后未布置作业的习题要尽可能多做,以加深理解,语言应用.提请注意这种差别,尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容:1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域;2、讨论有界集与无界集;3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理).一、区间与邻域1、区间(用来

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