线性代数期末考试重点.doc

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1、《线性代数》的主要知识点第一部分行列式概念：1．n阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；②每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列；③每一项的符号为2．元素的余子式以及代数余子式3．行列式的性质计算方法：1．对角线法则2．行列式的按行（列）展开(另有异乘变零定理)第二部分矩阵1．矩阵的乘积注意：①不满足交换率（一般情况下）②不满足消去率（由AB=AC不能得出B=C）③由AB=0不能得出A=0或B=0④若AB=BA，则称A与B是可换矩阵2．矩阵的转置满足的法则：，3．矩阵的多项式设，A为n阶方阵，则称为A的n次多

2、项式。对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果，则=（2）若，则4．逆矩阵：阶矩阵A,，若，则A,B互为逆矩阵。n阶矩阵A可逆；（或表示为）即A为满秩矩阵；A与E等价；A可以表示成若干个初等矩阵的乘积；A的列（行）向量组线性无关；A的所有的特征值均不等于零9求法：①伴随矩阵法：②初等变换法：或，E是单位矩阵性质：（1）矩阵可逆，则的逆矩阵是唯一的（2）设是阶矩阵，则有下列结论①若可逆，则也可逆，且②若可逆，则也可逆，且③若可逆，数，则可逆，且④若为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且5．方阵A的行列式：满足下述运算规

3、律（设为阶方阵，为数）①②③6．伴随矩阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）伴随矩阵具有性质：常见的公式有：①②③④等7．初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：（1）（互换E的第、列）（2）（E的第行乘以不为零的数）（3）（把E的行的倍加到第行上）初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且、、；初等矩阵的行列式分别是-1，k,1。98．矩阵的初

4、等变换：初等行变换:下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行；记为对换第行②以数乘某一行中的所有元素；记为第行乘③把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；记为第行倍加到第行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个矩阵，则①对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的阶初等矩阵；②对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的阶初等矩阵9．矩阵的等价：如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A

5、与矩阵B等价。且若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价；若仅经过初等列变换，就称A与B列等价。设为矩阵①与行等价阶可逆矩阵，使得②与列等价阶可逆矩阵，使得③等价阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得利用矩阵的初等变换解矩阵方程，，可以：，，可以：，从而解出X。10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为求法：A行阶梯形矩阵B，=B的非零行的行数。相关公式：①若A是矩阵，则②③=④若设为矩阵，均为可逆矩阵，则⑤，则⑥若均为矩阵，则⑦⑧若，则911．分块矩阵：主要记住：（1）分块对角矩阵：设为阶方程，若的分块矩阵只

6、有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即其行列式与逆矩阵具有下述性质：①②若，则，故可逆，并有:③设是阶方阵,是阶方阵,,且,则另有：（2）设有分块矩阵，其中分别为阶、阶可逆矩阵，则矩阵可逆且（3）设有分块矩阵，其中分别为阶、阶可逆矩阵，则矩阵可逆且第三部分向量组1．线性组合：给定向量组A：，对于任意一组实数，称向量为向量组的一个线性组合，称为该线性组合的系数。给定向量组A：和向量，如果存在一组数，使得=则向量是向量组A的线性组合，也称向量可以由向量组A线性表示向量能由向量组A线性表示方程

7、组有解矩阵A=（）的秩等于矩阵B=(，)的秩92．等价：设有两个向量组A：及B：，若B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为：（）≌（）主要结论：（1）矩阵A与B若行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价；若矩阵A与B若列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价（2）向量组B：能由向量组A:线性表示存在矩阵K，使得B=AK方程AX=B有解（3）向量组A:与向量组B：等价，其中，A,B是向量组构成的矩阵（4）向量组B：能由向量

8、组A:线性表示，则R()R()3．线性相关与线性无关对向量组A：，如果存在不全为零的一组数，使得：则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关，也就是说当且仅当都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则线性无关。主要结论：（1）向量组线性相关齐次线性方程组有非零解它所构成的矩阵=（）的秩小于；同样线性无关仅有零解（2）n个n维向量，线性相关行列式，线性无关行