讲变化率与导数导数的计算.doc

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1、第13讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sinx)′＝cos_x，(cosx)′＝

3、－sin_x，(ax)′＝axln_a，(ex)′＝ex，(logax)＝，(lnx)′＝.3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．61．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而

4、后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[试一试]1．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析：因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋lnx(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.答案：22．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：－xsinx考点一利用导数的定义求函数的导数利

5、用导数的定义求函数的导数：(1)y＝x2，(2)f(x)＝.解：(1)因为＝＝＝＝2x＋Δx，所以y′＝＝(2x＋Δx)＝2x.6(2)因为＝＝＝－所以y′＝＝－＝－.[类题通法]定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．二比：求平均变化率＝.三极限：取极限，得导数y′＝f′(x)＝.考点二导数的运算[典例]　求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；(3)y＝ln(2x－5)．[解]　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝＝＝.(3)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu

6、)′u′＝·2＝，即y′＝.[类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．6[针对训练]已知f(x)＝sin2x，记fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N*)，则f1＋f2＋…＋f2013＋f2014＝________.解析：由题意，可知f2(x)＝f1′(x)＝(sin2x)′＝

7、2cos2x；f3(x)＝f2′(x)＝(2cos2x)′＝－4sin2x；f4(x)＝f3′(x)＝(－4sin2x)′＝－8cos2x；f5(x)＝f4′(x)＝(－8cos2x)′＝16sin2x；…故f4k＋1(x)＝24ksin2x，f4k＋2(x)＝24k＋1cos2x，f4k＋3(x)＝－24k＋2sin2x，f4k＋4(x)＝－24k＋3·cos2x(k∈N)．所以f1＋f2＋…＋f2014＝20sin＋21cos－22sin－23cos＋24sin＋…－22010sin－22011cos＋22012sin＋22013cos＝(20－22＋24－26＋…＋22008

8、－22010＋22012)sin＋(21－23＋25－27＋…＋22009－22011＋22013)cos＝×＋×＝×＋×＝答案：考点三导数的几何意义6导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值.角度一　求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′，f′(x)是f(