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1、湖南师大附中第5次月考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.答案：B2.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A.B.C.D.答案：B3.已知数列满足，且，则的值是（）A.-5B.C.5D.答案：C4.某程序的框图如图所示，输入，则输出的数等于（）A．B.C.D.答案：D解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：此时，不满足条件，输出.122225题图5.某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视
2、图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.答案：A6.三个班级分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同班学生排在一起的概率是（）A．B．C．D．答案：C解析：由已知同班学生排在一起共种方法，而三个班级的学生随便排有种方法，故所求概率为.7.将函数的图象向右平移2个单位后，得到函数的图象，则函数的单调递减区间是A．B．C．D．答案：C128.设满足约束条件，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4答案：A9.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（O与点C,D不重合）
3、若则x的取值范围（）A．B．C．D．答案：C解析：如图所示，由于，点O在线段CD上，故存在实数，使得,又即10.已知斜率为2的直线与双曲线交两点，若点是的中点，则的离心率等于（）（A)(B)2(C)(D)答案：D解析：设，代入双曲线得，相减得12，即化简得即所以则离心率.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线垂直，则常数．12．(几何证明选讲）如图，内接于圆，，直线切圆于点，交于点.若，则的长为
4、.答案：解析：直线切⊙于点，根据弦切角可知,,,,又是公共角，根据三角对应相等得到~,,13.若不等式的解集为，则实数的取值范围是．12(二)必做题(14-16题)14．若随机变量～，且＝0.1587，则.【答案】0.8413.15．设，则的值为______________________.【答案】-2.【解析】令，即令得16.定义表示不超过的最大整数，如：．定义.（１）；（２）若，函数的零点个数为，则【答案】解析：（1）由分子易得.（2）由函数知，则,设，在同一坐标系内作出两函数图像，由图像知时交点有100个，的根有100个，即.又由可求得三、解
5、答题：本大题共6个小题，共7512分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:（数值）空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2014年11月1日—11月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如下条形图:（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取
6、2个,设为空气质量类别颜色为绿色的天数,求的分布列与数学期望.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别达到中度污染及以上的天数为12,所以该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率.……………6分（2）随机变量的可能取值为,……………7分则,……………8分,……………9分……………10分所以的分布列为:12……………12分18.（本题满分12分）已知函数,其中常数;（1）若的图像相邻两条对称轴之间的距离为,求的值;（2）在（1）的条件下,将函数的图像向右平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数的图像.若在上至少含有10个零点,求的最小值.解：(1)因
7、为的图像相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，即，即，所以.……………4分(2)，，……………6分令，得或，即或，，……………8分即的零点相离间隔依次为和,……………10分
故若在上至少含有10个零点,则的最小值为.……………12分19．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．12解析：（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，，所以．又，所以，因此，即，又，且，平面，所以平面．……………6分（2）解法一：由（1）知，所以，又平面，因此两两垂直．以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建
8、立空间直角坐标系。不妨设，则，，，，因此，．设平面的一个法向量为，则，，即，取，得．又平面的法向量可以取为，所以，而二面角
