高考数学 开放探究，别致璀璨.doc

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1、开放探究，别致璀璨——高考数学开放探索题型大数学开放题是相对于条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。条件完备、答案固定的数学题在发展学生思维、提高学生素质方面带有一定的局限性，而开放性试题以其复杂多变、综合性强、知识覆盖面宽，注重考察探索精神和创新意识等特征而逐渐成为高考热点。纵观近几年高考试题，开放性试题的趋势有增无减。本文对部分高考数学开放探究性试题进行归类解析，以供参考。一、条件追溯型此类试题中结论给出，但题设的条件不充分，需探求结论成立的条件或部分条件。其主要类型包

2、括条件未知、条件不足、条件有余、条件有误四种情况，高考中以前两种居多一般需执果索因，分析倒推探求结论成立的条件．求解此类问题时，应运用“执果索因法”寻求结论成立的充分条件。例1已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。【解析】因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①②故.又③原不等式成立.当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。例2在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点

3、，若（、），则、满足的一个等式是。【解析】因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又双曲线方程为，=，5，化简得4ab=1评注：对于条件未知的探索性问题，可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。而另一类缺少条件的探索性问题，则一般从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。这类题的答案往往是不唯一的，答案与已知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的，就视为正确的，对于考查学生发散性思维能力有较好作用。二、结论探索型此类题型的结论不明确，或结论不唯一。求解此类问题时，可

4、以“执因索果”直推结论，也可以综合运用观察，分析、类比、划归、讨论等方法探索结论，再“执果索因”，论证结果。例3已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.w_ww.k#s5_u.co*m【解析】(1)设P(x,y)，则，化简得x2－=1(y≠0)(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为

5、y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0，设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝w_ww.k#s5_u.co*m而x1、x2≠－1，故直线AB的方程为y＝(x＋1)，M点的坐标为(),同理可得w_ww.k#s5_u.co*m＝0②当直线BC与x轴垂直时，易得＝0w_ww.k#s5_u.co*m综上＝0，即FM⊥FN，故以线段MN为直径的圆经过点F。评注：这类问题一般结论都不确定或不

6、惟一，常需由特殊出发，归纳、引申、推广到一般情况．由浅人深，由特殊到一般，灵活运用归纳、类比、分类讨论等数学思想方法多角度地进行探索．四、存在判断型    由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”5等语句表述，解答这类问题，一般是先对结论作出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出合理的结论，则存在性随之解决；若导出了矛盾，也就否定了存在性。ADBCA1D1B1C1E例4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1

7、的中点。（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。【解析】（Ⅰ）以AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系易求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2/3；(Ⅱ)设=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量，则由=0,=0得，-x+z=0,-x+y+z=0,，取n.设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）(0≤t≤1)，又B1（1，0，1），n这说明在在棱C1D1上存在一点F（），使B1F//平面A1

8、BE评注：这是一道立体几何型的开放探究题，解此类问题常用假设法，即“假设－推理－否定（或肯定）假设―得出结论”，其实质上是先假设结论，再“执果索因”。即判断某一数学对象是否存在的问题．这类问题方法灵活，构思精巧，不但要求考生判断存在与否，而且要对判断的合理性作出严格的数学证明．而且在高考中最为普遍，也最容易设置，只需将明确的、定性的结论改造成需要探索的、讨论的设问方式就可以了。五、类比