一类离散的sir传染病模型分析

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1、2010年9月伊犁师范学院学报(自然科学版)Sept．2010第3期JoumalofYiliNormalUniversitv(NaturalScienceEdition)NO．3一类离散的SIR传染病模型分析谷丽，邢秀梅(伊犁师范学院数学系，新疆伊宁835000)摘要：在一定的假设下，建立了一类有垂直传染且康复者的新生儿不具有免疫力的离散的SIR的传染病模型，借助差分方程理论，分析得到易感者和染病者的最终状态，并发现染病者数量的变化规律及相应的阂值条件．关键词：离散；传染病模型；最终状态；阈值；稳定中图分类号：O175．1文献标识码：A文章编号：

2、1673-999X(2010)O3—0019__03在分析学中，由于连续模型易于定性分析，同时相应于连续模型的离散模型往往会出现一些不同的动力学性态，因此，连续模型的出现远多于离散模型．近些年来，随着计算机技术的发展，出现了一些离散模型的研究，发现离散的传染病模型会出现2周期解和混沌等复杂现象．本文在一定的合理假设下，建立了一类有垂直传染且康复者的新生儿不具有免疫力的离散的SIR的传染病模型．1模型取时间的长度为l，这可以是1年、1月、1周、l天等，考察0，l，2，⋯，这些离散时间点上传染病的传播情况，记f时刻一个地区的易感者人数为s(t)，患者

3、人数为，(f)，移出者人数为(f)，并做如下模型假设：1)该地区的总人口数为常数S(t)+，(f)+R(t)=N；2)这种病可以治愈，治愈后，再也不会感染该病；3)母亲的疾病会先天传染给新生儿，新生儿均为易感者；4)出生率系数与死亡率系数均为：5)疾病的发生率为p3s(t)-2；6)移出率系数为，，，则得模型为：+1)=)+∥肌)一)，(，)+1)=)-／I(f)+)，(f)，其中。<<1，0<+<1R(t+1)=R(t)+yl(t)一／aR(t)2模型分析定理1当0<<1，0<+<1时，对任何非负初始值(0)，，(0)，R(0)，(0)+，(0

4、)+(O)=N，模型(1)存在非负解并且是唯一的．收稿日期：2009—O5—24作者简介：谷丽(1958一)，女(维吾尔族)，副教授，研究方向：微分方程20伊犁师范学院学报(自然科学版)2010血证明因为I(t)(1一／3)s(t)+laR(t)>0，因为0<<1，所以，(f+1)=I(t)一yI(t)+(f)，(f)>0，因为0<<1，所以尺(f+1)=尺(f)+yI(t)一ktR(t)>0．定理2当R=<1时，模型(1)只有无病平衡解：(Ⅳ，0，0)；当Ro>1时，模型(1)有无病平y

5、衡解E0=(Ⅳ，0，岍Ⅱ地方病平，衡解=(U(1一南u(卜bⅣ)·证明设(，，，R)是系统(1)的平衡点，则有s一+#R-fl--S1，=卜，(r)十N，R=R+7"1一pR当R<1时，解得(，，，)=E。=(Ⅳ，0，0)．当>1时，解得(，，，尺)：E。=(Ⅳ'0，0)，或者(’=(Ⅳ，r(1一·定理3当0<／3<】，0<+<1，Ro<1时，模型(】)只有无病平衡解。=(Ⅳ，0，0)是全局渐近稳定的．证明当定理条件成立时，I(00，对所有的f=01一，EhY-O(f)≤N，所以-7"<1+／3·，所以1(0单调递减趋于零．R(t+1)=(1一／

6、OR(t)+，(f)，从f：0开始递推，利用，(f)的单调性，经过计算和比较得：R(1)=(1一)尺(0)+yl(O)，(2)=(1一)R(1)+，(1)=(1一)【(1一)R(0)+，，，(0)]+，(1)≤(1一)尺(0)+，，(1一)，(0)+rI(O)，R(，)(1一)，尺(0)+(o)【1+(1一)十．．+(1一)川]=(1一)，R(0)+【1一(1一)川】≤(卜)t(0)+，所以，对任意给定的，当(0)，(O)充分小时，月(，)就可以任意小，所以无病平衡解是稳定的．同理可证R(f+七)(1一)(f)+—yI(t)—，由于R(f)有界，

7、I(t)--->0，所以(f)Ⅳ，所以无病平衡解是全局渐近稳定的．定理4当。<<1，。<+<1，R>l，无病平衡解=(Ⅳ，。，。)是不稳定的，竿一(fl-r)>。，地方病平衡解=(Ⅳ，(卜)Ⅳ’(1一)Ⅳ)是稳定的·证明方程(1)在无病平衡解E。：(Ⅳ，0，0)的线性化系统为第3期谷丽，邢秀梅：一类离散的SIR传染病模型分析21线性化系统的特征方程为(一1)(-(1+一(一(1一))=0，特征根为=1，=1+一>1，=1一，所以无病平衡解E。=(N，0，0)是不稳定的方程(1)地方病平衡解=(Ⅳ，(1一)Ⅳ，(1一)Ⅳ)的线性化系统为pU七Hvs

8、(t+1)：(1一)(，)+)一，(f)／z+(，+1)：，(f)+．u(P-z)s(f)+yR(t+1)=(f)+yI(t)一ItR(