高中数学奥赛辅导：不等式专题讲义

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1、提升数学能力培养数学思维高中数学奥赛辅导资料系列不等式知识梳理1．不等式的概念与性质（要注意不等式性质成立的条件）2．基本不等式（1）利用基本不等式证明不等式（2）运用基本不等式求值ab2①“和定积最大”：ab()；②“积定和最小”：ab2ab.2运用重要不等式最值要注意满足三个条件：“正、定、等”.即a、b都是正数，和或积是定值，a与b能相等.n补充：均值不等式设a,a,,a是n个正实数，记H；Gnaaa，12nnn12n111aaa12n222aaaaa

2、a12n12nA；Q他们分别称为n个正数的调和平均数、几何平nnnn均数、算术平均数、平方平均数，这四个平均数具有如下关系：HGAQ，上式等号成立的条件是aaa.nnnn12n3.不等式的证明综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造（方程、函数）法、放缩法、反证法4．不等式的解法①一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了.②对于分式不等式、对数不等式、指数不等式，我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已学过的知识解答.③对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论.

3、④一元高次不等式用根轴法.⑤解不等式的方法中，尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法，5.不等式的综合应用（1）应用基本不等式求最值（和一定，积最大；积一定，和最小）.（2）“有解”与“恒成立”问题.（3）应用不等式求值范围，在与解析几何的综合考查中较常见.例题选讲京师博雅园xxyy例1.若(log)3(log)3(log)3(log)3，则下列关系成立的是2525A.xy0B.www.jsybyxt.comxy0C.xy0D.xy02例2．若关于x的不等式2

4、xa

5、x至少有一

6、个负数解，则实数a的取值范围是____.1提升数学能力培养数学思维高中数学奥赛辅导资料系列5例3．在算式4×□＋9×△＝♡的□和△中分别填入两个正整数，使它们的倒数之和的最小值为，6则正整数♡的值为_________.ax1例4：解关于x的不等式10ax22221例5：（1）已知abc1，求证：abbcca1222122（2）已知1xy2，求证：xxyy322221（3）设abc1，abc1，且abc，求证：c03abc（4）已知△ABC的三

7、边长是a,b,c，且m为正数，求证：ambmcm例6：证明：1111（1）12m1m22m1117（2）122223n4111（3）n12n23n京师博雅园www.jsybyxt.com2提升数学能力培养数学思维高中数学奥赛辅导资料系列22例7：已知两个函数f(x)8x16xkg(x)2x5x4其中k是实数。（1）对任意x[]3,3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围（2）存在x[]3,3，使f(x)g(x)成立，求

8、k的取值范围（3）对于任意的x,x[]3,3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围1212练习巩固1.已知正数a,b,c满足abc3，则8a18b18c1的最大值为A.9B.33C.16D.4322.(a)3x4(a)2x对a)1,0(恒成立，则x的取值范围是____________。11M33．Mn(n=3,4,5,……)为正整数，若a＞b＞c且对满足条件的任意a,b,c都有+≥0abbcca时，M3的最大值为，若a1＞a2＞a3……＞an(n=3,4,5,……)，

9、且对满足条件的任意an都有11Mn+……+≥0，则Mn的最大值为aaaaaa1223n14.解下列不等式2(x1)(x()4x)32（1）≤0；（2）解关于x的不等式axa110x京师博雅园x12ax25.已知a＞0，解关于x的不等式xwww.jsybyxt.comax13提升数学能力培养数学思维高中数学奥赛辅导资料系列abbcca6．（1）已知a,b,c是不全相等的正数，求证：lgalgblgc＜lglglg22233（2）已知a0，b0，ab2，求证

10、：ab2，ab1121（3）若a>0，求证：aa222aa22334（4）已知a0，b0，ab，且abab，求证：1ab31117.求证：（1）132233nn111（2）1(1)(1)(1)1()2n1(n,3,2,1)352n1京师博雅园www.jsybyxt.com4