悬链线的重心问题研究

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1、第3l卷第7期物理教师Vo1．3lNo．72010焦(2010)PHYSICSTEACHER悬链线的重心问题研究姜付锦(武汉市黄陂区第一中学，湖北武汉430030)1问题由来inEp十研]_+c，笔者在教学中会经常遇到这样一个问题：如图l所示，c为常量．当=O时，户=dv把一个质量均匀分布不可伸长的绳子的两端悬挂在天花板=O，代入得c=0，整理得-z上，如果在绳的最下端用力拉形成如图2所示，则绳子的重l+户=e一2e艘F十p2心是升高还是降低?对于这个问题的通常分析方法是利用．得功能关系，即在用力向下拉时，拉力对绳子做正功，天花板对绳子的两个拉力由于没有发生位移所以不做

2、功，而绳子=丢[一e一]=dz．的动能改变为零，所以只能是绳子的重心升高．还有一种方两边积分得法是当撤消外力时，绳子会上下跳动几下后停下来，这是因+e_]．为撤消外力后绳子的重心下降．重力势能转化为绳子的动能的原因，故绳子的重心是升高的．这两种方法很好理解但设，则可整理为号[+e一]．都是定性分析，能不能定量研究呢?笔者对这个问题作如即为悬链线的方程(双曲余弦函数．)，aChx)．下考虑，请各位同仁指教．3数学规律如图4所示，设悬链线的顶点A(0，a)到线上任意一点M(_z，)的弧长AM，长为S，则有2十52=v2。．图I图2D，-)2建立模型C(’如1-＼、、、建立如

3、图3所示的平面直角坐标系，设绳子的右边最／oT~·．一一一!IA．高点为B，最低点为A，最高点O(天花板)对绳子的拉力丁与I1水平方向的夹角为0，绳子最B图4低点受到的拉力为F，设整个绳子的质量为2m，则有一证明：由于=号[ef+e一]，则有=sh詈，1+Tsin0=mg，D()=1十sh2詈ch2．TcosO=F．图3并且对绳子上任意一点有=』册d==，于是tan0=警=．2十2=口2+n2Sh2ac=2Ch2=v2式中m为绳子的质量，设绳的线密度为p，长度为s，则mn．口a代入微分方程得=~Fg5，根据曲线的弧长公式d54重心研究=，若设两个悬点B(1zo，o)，C

4、(一o，0)，则有a+S==√1+(塞)dz，=』：√1+(塞)d，代入上式得意如2悬链线的总长度为5=2ashox设绳子总长为2L0，则，，~由于nF=有2L。2&sh管√1+(塞)．设户=，上式可化为，，n则可化简为sh(警!)=L0设绳子的Pg=1ID=Jd，则有p=d．zo=PF_g_2，分离i，L0=2，绳子长为4，0=1，则上式可变量并积分得化简为shi1=，利用MamCAD2001作图如图5所示．jj图中^()=sh_=1_(z)=-2=_，，两函数的(下转第39页)一37—第3210卷10第矩7期物理教师PHYSIGSTEACHERVl。】．31No．7

5、(2010)例5．在电学实验中，遇到断路时，常用电压表来检测．例6．如图6所示的电路中，电源电压为6V，当开关S某学生连接了如图5所示的电路，闭合开关S后，发现灯不闭合后，只有～只灯泡发光，且电压表V的示数为6V，产亮．为检查电路故障，他用电压表进行测量．结果是=，生这一现象的原因可能是3V，UO，U=0，=3V，则此电路的故障可能是(A)灯L】处短路．(B)灯L，处短路．(A)开关S接触不良．(B)小灯泡灯丝断了．(C)灯Ll处断路．(D)灯L，处断路．(C)d、间出现断路．(D)e、厂问出现断路．分析：先观察电路的连接方式为串联，电压表测L1两分析：观察电路，灯泡和

6、定值电阻串联，闭合开关S后，端电压．只有一只灯泡发光，说明电路中有电流，不可能发发现灯不亮，说明发生断路故障．用电压表测量时，表与被生断路故障，只能是短路．电压表V的示数为6V与电源测元件并联，相当于在被测元件旁又使电流有了一条路径，．电压相等，说明电压表的两个接线柱与电源两极直接相连若被测元件通路，由于电压表电阻很大，等效于开路．，对电故灯处短路．选项(B)正确．路无影响，其示数为零；若被测元件断路，电流不能从元件例7．如图7所示，当开关S通过，只能从电压表通过，因EgE,~电阻很大，这个电流闭合时，发现电流表指针偏转，电qE3,，灯泡不亮，但电压表有示数，且近似等于

7、电源电压．本压表指针不动．该电路的故障可题中电压表测得U=3V，说明电源可提供3V电压；6能是0，O，说明n、d两点与电源两极相连的电路某处断(A)灯L1的接线短路．萌开，U3V，说明故障在d、e两点之间且为断路．选项(B)灯L2的接线短路．图7(C)正确．(C)灯L1的灯丝断了．(D)灯L2的灯丝断了．分析：先观察电路，灯Ll和L2串联，电流表测电路中电流，电压表测LJ两端电压．当开关S闭合时，发现电流表指针偏转，说明电路中有电流，不可能发生断路，只能是发生了短路．电压表指针不动，说明Ll两端无电压，灯L】的接线短路．选项(A)正确．图