D1-8函数的连续性与间断点;1-9初等函数的连续性.ppt

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1、1)直接用四则法则;2)恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质;无限项:约去零因式通分分子分母有理化课前复习：求极限的方法：抓大头4)无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则(变量代换法);化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则;8)重要极限法;9)等价无穷小代换法.思考每种方法的理论依据、条件及适用范围.1纠正作业：1.求极限的四则法则是有条件的.不能无条件使用.解:解:3.如何求曲线的渐近线.2.求极限时应先看极限过程及极限类型.2观察图像：oxyyx1o2yxo13x=0处

2、无极限.3二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章4可见,函数一、函数连续性的定义1.定义:的某邻域内有定义,(1)(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:且5例1.证：由定义1知：例2.解：6(1)函数的增量:即即7左连续右连续请思考：函数在点处连续与在点处有极限的区别与联系.8说明：2)三个连续的定义的主要作用：常用于具体函数连续性的判断.常用于抽象函数连续性的判断.常用于分段函数分界点处连续性的判断.1)函数在点处连续与在点处有极限的区别与联系.反之不一定成立.yx1o9例4.设解:解：左连续右不连续例3.

3、试讨论函数在处的连续性.P75T1010(1)(2)极限(3)连续必须具备下列条件:二、函数的间断点的某去心邻域内有定义,1.间断点的定义：2.间断点的分类:第一类间断点:第二类间断点:间断点112.间断点分类:(1)第一类间断点(2)第二类间断点12为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:13显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.14注意:可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.为可去间断点.如补充定义：时则函数在处就连续了.15刚学过的主要内容：第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第

4、二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在163.连续函数与连续区间定义1:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,该区间叫函数的连续区间.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如:因为17一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第一章18在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,定理2.(证明略)若函数y=f(x)在

5、某区间上单值、单调且连续，则它的反函数在对应的区间上也单值、单调且连续，而且它们的单调性相同.19定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.例如,上连续单调递增，其反函数(递减)在[1,1]上也连续(递减)单调递增.总之,反三角函数在其定义域内皆连续.上连续单调其反函数上也连续单调递增.又如,递增,20定理3.(利用极限的变量代换法)意义：1)在定理3的条件下极限符号可以与函数符号互换;例1.解:所以原式21定理4.连续函数的复合函数是连续的.(常用)证:设函数于是故复合函数且即例如,是由连续函数因此复合而成,22三角函数及反三角函数在

6、它们的定义域内是连续的.★★★★均在其定义域内连续(证明略)二、初等函数的连续性结论:基本初等函数在其定义域内是连续的.23定理5.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.1.“定义区间”与定义域不应混淆.定义区间定义域说明:初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,函数在这些孤立点的邻域内没有定义,故均为间断点.2.逆否命题成立.即在定义区间内不连续的函数是非初等函数,如：的连续区间如何找？3.初等函数的连续区间=定义区间245.函数连续性的应用------求极限.4.初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.如函数的间

7、断点：例2.解:第10个求极限的方法25例3.解:例4.解:26则有结论1:若则有结论2:若27定义区间与定义域的区别.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续连续函数的反函数连续内容小结说明:分段函数在界点处是否连续需应讨论其左、右的连续性.第10个求极限的方法：利用函数的连续性求极限.思考题28思考题确定函数间断点的类型.作业:P653(1)(4),4;P693(5)(6)(7),4(4)(5)(6),6预习:P70-P76解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.29备用：证：同

8、理可证y=cosx在定义域内也是连续的.30例5.求解:原式例6.求解:令则原式P69例6，例731