03机器人行走问题

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1、机器人行走问题摘要本题研究机器人行走问题，关键问题在于两点，一、要求路线最短，二、存在行走约束。由此我们想到物理学的弹力绳模型。弹力绳的特点是，当固定其两端时，由于弹性作用绳子总保持在张紧状态，转化为数学量就是长度最短。满足第一点。机器人的行走约束为，首先要保持与障碍物最小1单位的安全距离。就此我们可认为机器人可到区域的边缘与障碍物的边平行，在障碍物转角处对应于半径为1的1/4圆弧。其次其沿直线行走，转弯时以与直线相切的或者两个、多个相切的圆弧为路线，不可折线转弯。弹力绳张紧时，紧附在可到区域边缘上，正好满足此约束条件。故该模型是科学、可行的。通过求解在转弯时路线与边缘上圆弧的切点坐

2、标得到待选路线，比较相对与障碍物不同位置的待选路线得最短路线。从R到A、B、C的最短路线长度分别为：70.5076、107.9587、102.0514，从R依次经过A、B到达C的最短路线长度为：155.5331，具体行走路线见下文图示。关键词最短路线，物理弹力绳模型，安全距离，弧线转弯，切点1一．问题重述在100×80的平面场景图中，有一机器人位于原点R（0,0）处，需要绕过四个矩形区域障碍物到达目的地，行进过程中要始终保持与障碍物最近1单位的安全距离。此外，机器人不能折线转弯，以与直线相切的或者两个、多个相切的圆弧曲线为转弯路线，弧线最小转弯半径为1个单位。需要根据上述条件，求机器

3、人从R（0,0）到每个目标点的最短路线。二．问题分析经分析，该问题可以抽象为在可行区域内，两点之间通过直线和平滑圆弧线连接的最短距离问题。其关键在于直线行走的角度和转弯圆弧的选择，弹力绳张紧时紧附于可行区域边缘，满足上述限制。并且由物理学中了解到的弹力绳特点可知，理想弹力绳能自由伸缩、任意形变，而其物理上的张紧状态可以转化成数学上的长度最短状态，故可由此入手寻求解决途径。找到最短路线之后，由直线和圆弧线的长度之和计算求得最短路线的长度并确定具体行进路线。三．基本假设物理弹力绳模型假设：1.假设在场景平面中，距离障碍物1个单位的区域内，用固体填充，和障碍物一起称为障碍区，即机器人不可到

4、达，其余区域机器人行动没有范围限制称为可行区，交界处称边界。22.假设存在一条忽略粗细、初始长度为0的弹力绳，实际长度可根据需要任意改变。3.弹力系数为一常数,弹力绳不会被拉断。4.假设机器人的出发点和终点上分别存在一个铁钉，可将弹力绳两端固定在铁钉上。四．符号约定K：弹力系数，为一常数；L：弹力绳当前长度，初始为0，可任意变化；E：弹力绳的弹性势能；L：从R到A的第i条待选路线的长度（i=1,2……）；AiL：从R到A的最短路线的长度；AL：从R到B的第i条待选路线的长度（i=1,2……）；BiL：从R到B的最短路线的长度；BL：从R到C的第i条待选路线的长度（i=1,2……）；C

5、iL：从R到C的最短路线的长度；CL：从A到B的最短路线的长度；ABL：从B到C的最短路线的长度；BCL：从R经过A、B到C的最短路线的长度。五．模型的建立5.1模型概述弹力绳处在稳定状态时，其各项势能最小，本题只考虑弹性势能一项。将弹力绳两端分别固定在出发点和终点的铁钉上，使其发生任意形变，当其不处在稳定状态且绳其他部分不受外力作用的情况下，由于弹性作用其将收缩，直至稳定。12当弹力绳长度为L时，其弹性势能为EKL，如果L不为最短，则势能2转化为动能，其向势能减小的状态转化，即E减小，由于K为常数，所以L减小，最终位置势能E最小，L也最小，即得两点距离最小状态。5.2路线约束分析

6、由假设知，边界到障碍物的距离为1单位，所以，障碍物的顶角对应的边界为半径为1的1/4圆弧，其余部分为与其相切且与障碍物边界平行的直线。弹力3绳在稳定状态时紧贴边界，故其确定的路径也是光滑圆弧线和与其相切的直线，满足对机器人行走路线的限制。5.3模型运用对任一目的地，把弹力绳两端固定于起点与终点上，绕过障碍区使其自由缩短变化，最后所停位置为一种待选路线。通过对障碍区不同的绕行方式，得到不同的待选路线，从中比较得最短路线。其中，对于重复行走、交叉行走等必然增加路程的线路不予考虑。由于路线在转弯处与边界圆弧相切，所以，关键求得切点坐标便可计算路线长度并确定具体行进路线。六．模型求解6.1原

7、点R（0，0）出发分别到A、B、C的最短路线6.1.1从R（0,0）到A（50,40）由模型易知存在两条待选路线RA1,RA2。（1）由matlab的solve函数求解转弯时的切点坐标。例如，RA2上其中一个切点坐标计算式为：solve(’（x-40)^2+(y-15)^2=1’,’x^2+y^2=40^2+15^2-1’,’x’,’y’)得：P1=[40.3291094219845914.05570820804109]，其它切点坐标解法类似。之后用mat